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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：複素数の問題）

複素数の問題

このQ&Aのポイント
  • 複素数の問題について解説します。
  • z^3=1を満たす解を極座標化し、指数表示することで解析を行います。
  • 帰納法を用いて証明を試みましたが、変形が難しく困っています。

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回答No.1

z^3=1 →　（z-1）*（z＾2＋z＋1）＝0　であるから、γ＝1としても良い。 ここから、幾つか方法がある。 （解法-1） z＾2＋z＋1＝0を解いて、zを極形式で表す。 その上で、ド・モアブルの定理を使うと、α^n+β^n＝2*cos（2nπ/3）となるから、n＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2　（kは自然数）で場合わけする。 （解法-2） α^n+β^nを求めると良いのは同じ。 Ｓ（n）＝α^n+β^nとすると、Ｓ（n＋3）-Ｓ（n）＝（α＾n）*（α＾3-1）＋（β＾n）*（β＾3-1）＝0であるから、Ｓ（n）は基本周期が3の周期関数。 よって、Ｓ（1）、Ｓ（2）、Ｓ（3）の値を求めると良い。 Ｓ（1）＝α＋β、Ｓ（2）＝α＾2＋β＾2、Ｓ（3）＝α＾3＋β＾3の値を、α＋β＝-1、αβ＝1を使って求めるだけ。 あと、図形を使っても良いが、そこまでは必要ないだろう。。。。。。ｗ

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その他の回答 (1)

  • f272
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回答No.2

α^(n+3)+β^(n+3)+γ^(n+3)=α^n+β^n+γ^n なのだから α^(n+3)+β^(n+3)+γ^(n+3) は α^1+β^1+γ^1 α^2+β^2+γ^2 α^3+β^3+γ^3 のどれかに帰着できるというだけのこと。

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