複素数と数列

質問

S_N=Σ[n=0,N]x^nとする。x=i=√(-1)のとき、S_Nの大きさを求めよ。ただし、複素数z=a+biの大きさは、|z|=√(zz*)=√(a^2+b^2)と定義する。z*はzの共役複素数である。

S_NはSに下付きでNがついているということを示しています。
Σ[n=0,N]は、Σの下がn=0、上がNということです。

n=0のときS_0=1
n=1のときS_1=1+i
n=2のときS_2=i
n=3のときS_3=0
n=4のときS_4=1
n=5のとき・・・

という所までは分かったのですが、n=Nのとき、すなわちS_Nの大きさがよく分かりません。

ここからどのようにすれば良いのでしょうか？

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

一番直接的な方法では、等比数列の和の公式を使います。

　　a (1 - r^{N+1})/(1 - r) = Σ_{n=0}^{N} a r^n

で、a = 1, r = x ととると、

　　S_N = (1 - x^{N+1})/(1-x)

が得られます。x = i とおいて、|S_N|^2 を計算します。
i = e^{iπ/2} を使うと良いです。

[別解] i^4 = 1 を利用します。x=i ですので、

x^0 = 1 , x^1 = i , x^2 = -1 , x^3 = -i,
x^4 = 1 , x^5 = i , x^6 = -1 , x^7 = -i,....

のように n が 4 増えるたびに、元に戻ります。

x^0 + x^1 + x^2 + x^3 = 0
x^4 + x^5 + x^6 + x^7 = 0

などが成立ちます。つまり、S_N の n の和を頭から4つずつまとめていくと、4つそろったところは 0 になります。

従って、N = 4m + k とおくと、

S_N = Σ_{n=4m}^{4m+k} x^n = Σ_{n=0}^{k} x^n です。

あとは出来ますよね。

お礼

理解できました！
しっかり整理してみると、意外と簡単でした。
ありがとうございました。

＞複素数z=a+biの大きさは、|z|=√(zz*)=√(a^2+b^2)と定義する。

問題に上のように書いてあるので、答えは、以下のとおりになりました！

m=0,1,2,3,・・・とすると、S_Nの大きさは、
N=2m のときS_N=1
N=4m+1のときS_N=√2
N=4m+3のときS_N=0

場合分けって、大事ですね(^^;)
ありがとうございましたm(_ _)m

補足

別解の方で質問です。

つまり、m=0,1,2,3,・・・としたとき、
N=4m のとき、S_N=1
N=4m+1のとき、S_N=1+i
N=4m+2のとき、S_N=i
N=4m+3のとき、S_N=0

と、答えを場合分けして考えたら良いということですか？？