α，βは複素数で、αの絶対値は１、

質問

α，βは複素数で、αの絶対値は１、
αβ'=βのとき、
z+αz'+β=0
を満たすzが存在することを示せ。
(β',z'は共役複素数)

とりあえず、z+αz'+βと共役なz'+α'z+βとの
積(z+αz'+β)(z'+α'z+β)これを考えて、これが
０になるような、zがあるといえばいいのかと思いましたが、
展開しただけで計算が進みません。この考え方でいいのか、
それとも別の考え方のほうがよいのか。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

z+αz'+β=0
β'z+αβ'z'+ββ'=0
β'z+βz'+ββ'=0
β'z+(β'z)'+ββ'=0
よって、β'zの実部は　-ββ'/2

z=(-ββ'/2)/β'=-β/2
とすれば、
z+αz'+β=-β/2-αβ'/2+β=-β/2-β/2+β=0

お礼

ありがとうございます。
z=(-ββ'/2)/β'となる理由が良く分からなかったのですが、
考えたいとおもいます。

回答No.4

mame117

z + αz' + β = 0
β’を掛けて
β'z + βz' + ββ' = 0　
zz’を両辺に加えて、
|z+β|^2=|z|^2
zはガウス平面上で、-βと原点の垂直2等分線上にあればよい。
無理に書くなら、aを実定数として、
z=(-1/2+ia)β

回答No.3

178-tall

前半を端折ってたので、追記。

>α，βは複素数で、αの絶対値は１、 αβ'=βのとき、........

α= c + is　(c^2 + s^2 = 1) としたとき、β= p + iq では、
　q = sp/(c + 1)
になるみたいです。

回答No.2

178-tall

β'≠0 ならば、
　αβ'= β → α = β/β'
　　　↓
　z + αz' + β = z + (β/β')z'+β= 0
　　　↓
　β'z + βz' = -ββ' = -|β|^2

つまり、
　2Re(β'z) = -|β|^2　　　…(A)
　　　↓
β= p + iq, z = x + iy として、
　2(px + qy) = -(p^2 + q^2)
　　　↓
　y = -{(p^2 + q^2) + 2px}/2q
　z = [2qx - i(2px + p^2 +q^2)]/2q
が式 (A) を満たす。

(β'= 0 なら如何？)

お礼

ありがとうございます。
なんとなくできそうな感じがします。
計算して確かめたいとおもいます。