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絶対値が入る 証明の問題です。

2つの複素数、α,βに対して、|αβ|=|α||β|が成り立つことを証明せよ。 ※“|”は絶対値の棒を表しています。

質問者が選んだベストアンサー

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  • branigan
  • ベストアンサー率40% (16/40)
回答No.7

あなたが複素数のどのあたりを習っているかによって,証明の仕方が幾分違ってくると思います。私が紹介するのは,複素数を習いたての方向けの証明です。 [証明] α=a+bi,β=c+di(a,b,c,dは実数)とする。 αβ=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i |αβ|=√(ac-bd)2乗+(ad+bc)2乗 =√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =√(a2+b2)(c2+d2) =|α||β| 文字の入力の仕方が下手くそですみません。補足します。ルートの記号は,後に続く文字式すべてにかかっています(三つとも)。文字の後の「2」という数字はいずれも,2乗の意味です。今一度,ご自分で式を書き直して証明してくだされば,ご理解いただけることと思います。 以上です。

その他の回答 (6)

回答No.6

本質的にはN0.1 kony0氏の回答で尽きているのですが, 蛇足をかえりみず,補足です. 2つの複素数を置くときに >α = a+bi, β=c+di とする。 というところで "(a,b,c,d は実数)"と断っておかないと,この手の"あたりまえ"の証明問題ではとがめられることがありますので,ご注意ください.

  • juni602
  • ベストアンサー率40% (2/5)
回答No.5

下の回答,問題を読み間違えました.すいません.

  • juni602
  • ベストアンサー率40% (2/5)
回答No.4

α>0,β>0のとき,右辺=(α)(β)=αβ α>0,β>0より αβ=IαβI α<0,β<0のとき,右辺=(-α)(-β)=αβ α<0,β<0より αβ=IαβI α>0,β<0のとき,右辺=(α)(-β)=-αβ α>0,β<0より -αβ=IαβI 同様にα<0,β>0の時,右辺=IαβI α=0もしくはβ=0の時,左辺=0 右辺=0で成立. これじゃあ,だめでしょうか?

  • totoroaki
  • ベストアンサー率35% (19/54)
回答No.3

ここに出てくるrの後やθの後の数字は小文字です。 絶対値は【】で表すとします。 では回答に入ります。 (証明) αの絶対値をr1、偏角をθ1 βの絶対値をr2、偏角をθ2 とすると α=r1(cosθ1+isinθ1) β=r2(cosθ2+isinθ2) と表せる αβ=r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2)  =r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2+i二乗sinθ1sinθ2)  =r1r2{(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)}  =r1r2{cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2)}  だから【αβ】=r1r2・・・(1) 【α】=r1、【β】=r2だから 【α】【β】=r1r2・・・(2) (1)(2)より【αβ】=【α】【β】 証明終わり!!! 何かわからないところがあったら補足してください。 ではでは頑張ってね。

  • wogota
  • ベストアンサー率42% (66/154)
回答No.2

複素数の絶対値表現は、たいてい直行空間のノルムに相当します。 α=a+bi、β=c+diとでもしておいて、|αβ|-|α||β|の値を計算すると 0となることがわかります。 これで、どうでしょうか?

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.1

ただ馬鹿正直に計算するだけでいいの? α = a+bi, β=c+di とする。 αβ = (ac-bd) + (ad+bc)i |αβ| = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = |α||β|(終) もしくは、α=|α|e^(iΘ), β=|β|e^(iφ) αβ = |α||β|*e^i(Θ+φ) より明らか。(終) はて、なにが聞きたかったのかさっぱりわかりません。

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