四辺形の重心は二組の対角の中点が重なったところ

質問

にあるというのは正しいかどうか、証明法がわからないのでヒントを教えていただければと思います。

回答No.7

staratras · ベストアンサー

No.6で示した四角形の重心の求め方です。

お礼

図を描いていただいて勉強しやすくなりました。私の点との違いを調べてみます。

回答No.6

staratras

>御図でAP＝CP、BP＝DPですが、一般にＡＰはＤＰに等しくないつもりでいました。またＰ点は図形の中に入らないでしょうか。

前半はその通りです。後半は、P点は四角形の内部にあるとは限りません。なぜならば題意を満たす点は対角の2頂点、AとCと等距離だから線分ACの垂直２等分線上にあり、またBとDとも等距離だから線分BDの垂直2等分線上にあります。すなわち点Pはこの2本の垂直2等分線の交点になりますが、四角形が平べったくなるとNo.5の図のように四角形の外になってしまいます。この点は重心ではないのです。

四角形の重心の求め方の一例です。一般には四角形ABCDを対角線で2個の三角形に分割し、まずそのそれぞれの重心を求めます。たとえば対角線ACで分割し、三角形ABCの面積がS1で重心がG1の位置にあり、三角形CDAの面積がS2で重心がG2の位置にあるとすれば、四角形ABCDの重心は線分G1G2上にあって、この線分をS2：S1に内分する点になります。

これを応用すれば、面積を求めなくても四角形の重心を求めることができます。まず上記のように対角線ACで四角形ABCDを三角形ABCと三角形CDAに2分割し、それぞれの重心G1、G2を求めれば四角形ABCDの重心は線分G1G2上にあります。　…(1)

次に対角線BDで四角形ABCDを三角形ABDと三角形BCDに2分割し、それぞれの重心G3,G4を求めれば四角形ABCDの重心は線分G3G4上にあります。…(2)

(1)(2)から四角形ABCDの重心は線分G1G2と線分G3G4の交点です。

お礼

私の記載通りの独楽を作ってみるとそれなりに回るのでご教示の内容を勉強させていただきます。私の記載の点はやはり内側に来ると思うのですが・・・。

回答No.5

staratras

＞二組の対角でそれぞれの向き合う二つの対角から等距離で重なる点

下の図のような点P（AP＝CP　かつBP＝DP）の意味ならば、四角形の外部にあり、明らかに重心ではありません。

またAP＝BP＝CP＝DP の意味ならば、これは四角形ABCDの外接円の中心ですが、四角形に外接円が存在するのは対角の和が180度の場合だけなので、そもそもそのような点が一般の四角形に存在するとは限りません。下の図の四角形にも外接円は存在しませんので、そのような点がありません。

お礼

私の書き方が良くないのだと思いますが、御図でAP＝CP、BP＝DPですが、一般にＡＰはＤＰに等しくないつもりでいました。またＰ点は図形の中に入らないでしょうか。

回答No.4

asuncion

対角の中点って何ですか？

対角線の中点や
内角の二等分線の交点
ならばわかります。

お礼

二つの対角から等しい距離にある点のつもりでした。

回答No.3

Winter_5

四角形や長方形は対角線の中点が重心になります。
しかし、台形の対角線となると、台形何種類かの台形
もあるので、推測で答えますが、交差点は重心ではない
ように思います。

お礼

対角線の交点ではなく対角から等しい距離にある点のつもりでいました。

回答No.2

masaban

追加します。遊びを思い出し、経験を振り返ってください。
折り紙あそびをしてみましょう。
紙は正方形でない四辺形を使ってみましょう。
対角線の折り目をいれてからひろげて、交点を探してください。
そうしたら今度はやじろべえ遊びをしてみましょう。
水平にひろげ折り紙の折り紙の交点を下から指先で支えてみましょう。

折り紙が指から落ちずに安定した場合と、折り紙が指から落ちた場合の２つの組にわかれるのです。

その共通点と不一致する性質を見比べて探してください。

質問者には遊びがたりず、経験が足りない、または経験を活用する心構えが無いかと思います。
それが不足したままではこれからも同じようなつまずきがあるでしょう。いくら暗記力や演算力があっても応用力を培えないことになります。
自らの疑問や生活の中のあそびから学びを自分の力で学ぶための手段を開発し応用していかなければ人生を失敗するでしょう。

お礼

二組の対角でそれぞれの向き合う二つの対角から等距離で重なる点と書くべきだったと思います。対角線と書かなかあったのは直線にならないこともあるからでした。

回答No.1

masaban

正しくありません。ひとつその条件に合わない事例があれば証明は完了です。
対角線の交点は正方形と長方形と等辺の辺長のひし形では中点といっちしますが、台形や辺の長さの等しくないひし形では対角線の交点が対角線の中点と異なる位置にできます。
台形は四辺形の一つなのに対角線の中点が交点にはならないことがあるので、命題「四辺形の重心は二組の対角の中点が重なったところ」は恒に正しい命題ではありません。
　ただし、対角線の交点は正方形と長方形と等辺の辺長のひし形では中点と一致します。そして辺と対角線の線分のいくつかで囲む面は、対角線の交点の点対称に、必ず点対称形状の同じ面積の面が存在します。
　面の重心には重心点を点対称の中心にして点対称形状の同じ面積という性質があるので、正方形と長方形と等辺の辺長のひし形ではそれらに限って命題は正しいのです。

補足

全ての凸四辺形のつもりでした。