• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

「中点を結ぶと平行になる」の証明

三角形では、2辺の中点どうしを結ぶと、もう1辺と平行になります。これは中点連結定理ですが。 さて台形の平行でない対辺の中点を結ぶと、やはり他の対辺と平行になります。その証明は、こうやってみました。概要です。 台形ABCD(AD//BC)で、ABとDCを延長し、交点をPとする。 ABの中点をM、DCの中点をNとする。 ここでPM:PB=PN:PCを証明し、だから平行。 ところが、2組の辺の比が等しいことをバタバタと示すのは、たいへんでした。もっとスマートな(楽な)証明はないかと思っています。中学校2年生段階での証明をどなたか教えてください。 CDを平行移動してMとNが重なるようにするような、そういう証明でしょうか。他の証明はありますか。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数6
  • 閲覧数1566
  • ありがとう数6

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

対角線AC の中点をPとし、直線MPとC Dの交点 をQとする。 △ABCで中点連結定理より、MP//BC よって、MQ//BC・・・☆ △C PQ∽△C ADで、C P=PAなのでC Q=QD したがって、QはC Dの中点、つまりNである。 ☆より、MN//BC というのは?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。QがNと一致するというわけですね。

その他の回答 (5)

  • 回答No.6

  > NはAPの中点でしょうか。 三角形NADと三角形NPCは、の関係は?  

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。中点ですね。

  • 回答No.5
  • tarame
  • ベストアンサー率33% (67/198)

直線ANと直線BCの交点をPとおく。 △ABPにおいて、中点連結定理により MN//BP であるから MN//BC

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

NはAPの中点でしょうか。

  • 回答No.3

  A とC、MとC、DとB、Nとb、を結ぶ。 三角形ABC == 三角形DBC AM : MB == DN : NC よって、 三角形MBC == 三角形NBC なので、 M、Nは、BCから等距離にある。 以上より、 MN // BC  

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。三角形の高さを利用したんですね。

  • 回答No.2

> CDを平行移動してMとNが重なるようにするような AとDが重なるようにしたらどうですか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。右の方に平行四辺形と中点を結んだ線分がありますね。左の線分も両方平行だというのですね。

質問者からの補足

ADを平行移動させると、ADの中点は、中点どうしを結んだ線分の上を動くのでしょうか。

  • 回答No.1

よく考えられてますね. かなり幾何が得意なようなので, すこし細かい突込みを(^^;; >台形ABCD(AD//BC)で、ABとDCを延長し、交点をPとする。 これがちょっとまずいんです. 交点が存在するとは限りませんよ. 平行四辺形も台形です. したがって,証明の一部がかけてしまってます. この点を除けば,まさに「バタバタ」と PM:PB=PN:PCは示せますのでOKです. なお,中点でなくても成立するのも,お気づきですよね. 平行四辺形のケースもひっくるめて,なおかつ 中点以外のケースも一緒にやってしまうには 次のような手も考えられます. >CDを平行移動してMとNが重なるようにするような、 >そういう証明でしょうか。 基本線はそうですが,まじめに書くと結構厄介ですよ. 台形ABCD (AD//BC)において ABをm:nに分ける点をM,DCをm:nに分ける点をNとし 対角線ACを引いておく. 今,Mを通り,下底辺BCに平行な直線とACの交点をPとおく このとき,AP:PC=m:nである つぎに,Nを通り,上底辺DAに平行な直線とACの交点をQとおく このとき AQ:QC=m:nである つまり,P=Q である.今後Qではなく,Pで表記統一する. ここで,二つの直線MP,PNを考える (この段階ではMPとPNをつなげると 折れ線かもしれないというのがポイント) MP//BC (MPの作り方より) BC//DA (台形だから) DA//PN (PNの作り方より) したがって, 直線MPと直線PN はともに,下底辺BCと平行でなおかつPを通る直線. ある直線に平行で,特定の一点を通る直線は ただ一つしか存在しないので,・・・(A) 直線MPと直線PNは一致する. したがって,直線MPは直線NMでもあり これは下底辺,上底辺とも平行である. ========= (A)がきわめて重要. (A)が成立しなければこの論法は無理です. ユークリッド幾何(中学高校で扱う範囲)では問題ないですが (A)が成り立たない幾何もあります. 詳しくは学校の先生に聞いてみてください.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。やっぱり結構大変ですね。

関連するQ&A

  • 中点連結定理の逆

    中3で中点連結定理を学習しますが、 中点連結定理の逆、という言い方はするのでしょうか?←数学用語では。

  • 中点連結定理をつかった証明

    三角形ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれD、E、Fとする。三角形ABCの内部に点Oをとり、線分OA、OB、OCの中点をそれぞれP、Q、Rとするとき、3直線DP、EQ、FRは1点で交わることを証明せよという問題が出されたんですがどのように証明したらいいかよくわかりません。 絵を描いたら点OでDP、EQ、FRが1点で交わったんです。 これは中点連結定理を使うとできそうなんですが、wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%AE%9A%E7%90%86 )で調べたけれどどのようにまとめて証明したらいいかわからないんです。 教えていただけないでしょうか?

  • 平面図形の問題(中学レベル)

    こんばんは 次の命題があり、真ならば証明を偽ならば反例を示せ。 (1)平行四辺形ABCDがあり、ABの中点をE、DCの中点をG、AC、BDの交点をFとするとき、EFGは一直線上にある。 (2)台形ABCDがあり、ABの中点をE、DCの中点をG、AC、BDの交点をFとするとき、EFGは一直線上にある。 よろしくお願いします。

  • 数学の証明の丁寧さについて

    先日、学校で数学のテストがあったのですが、説明不足で減点された問題がありました。 しかし、模試などでは説明不足で減点されることはありませんし、自分でも答案は丁寧に書いているつもりです。 そこで、実際は、どうなのか、意見を下さい。 問題 △ABCにおいて、辺ACの中点をM、辺ABの中点をNとおき、BMとCNの交点をGとする。また、AGの延長上にAG=GDとなる点Dをとり、ADと辺BCの交点をEとする。このとき、四角形BDCGは平行四辺形であることを示し、三角形の3つの中線は1点で交わることを証明せよ。 僕の解答 AG=GD、AN=NBだから、 △ABDにおいて中点連結定理により、NG∥BD ∴GC∥BD—(1) AG=GD、AM=MCだから、 △ACDにおいて中点連結定理により、MG∥CD ∴GB∥CD—(2) (1),(2)より2組の対辺がそれぞれ平行だから 四角形BDCGは平行四辺形である。 また、このことからBE=ECだから、AEは△ABCの中点である。 ゆえに、三角形の3つの中線は1点で交わる。 先生によると、日本語での説明が不足しているとのことですが、どうなのでしょうか? 回答よろしくお願いします。

  • 図形の問題

    三角形ABCがある。辺AB、ACの中点をそれぞれD、Eとし、辺BCを1:2に分ける点をFとする。また、線分CDと線分EFとの交点をGとする。CG=6のとき、線分GDの長さを求めよ。 と言う問題です。 線分BCの比の合計が3なので、DEの比が3/2として、 2:3/2=6:DGとなり DG=9/2 となりました。 このような考えでよろしいのですか? 比でも足して、中点連結定理がなりたつのですか? また、私が考えた解答で間違いがありましたら教えてください。

  • 中点連結定理の類似

    三角形ABCの辺ABをp:qに内分する点をD、辺ACをp:qに内分する点をEとするとき直線BCと直線DEが平行になるという性質に名前はついてますか? 読んだ本には中点連結定理の類似と書かれていたのですが名前はついてないのでしょうか?

  • 証明

    AD//BCである台形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点Pとする。また、点Pを通り、辺BCに平行な直線lを引き、辺AB、CDとの交点をそれぞれE,Fとする。 このとき、(1/AD)+(1/BC)=(2/EF)を証明する問題で。        A-----------D / \     /         \ /           \      /           \     B-------------------------C どのように考えるか分からないのでこの書き込みは消されてしまうかもしれませんが、よろしくお願いします。 この問題をまず解くには ・AE:EB=AD:BC ・DF:FC=AD:BC を考えるそうですがこの比の作り方(考え方がよくわかりません。) まとめると、 Pはこの図の中心点。 点Pを通るよく線はl ABとDCで交わった直線lをE,Fと置く。

  • 台形と中点連結定理

    AD//BCの台形の辺ABと辺CDの中点をE,Fとすると。線分EFと対角線ACと対角線BDの交点は、ACとBDの中点となる。が証明できないので質問します。 三角形AEHと三角形ABCの相似はAH:ACがわからず、EH//BCとEH=(1/2)BCが証明できませんでした。 またEを通りACに平行な補助線を引いてみたりもしましたが、証明できません。 どなたか、中学生にもわかる証明をしてください、お願いします。

  • 中学の図形分野、証明問題(中点連結定理など)を教えてください

    こんにちは、はじめまして。 中学1年生の図形分野にあたる以下の問題が解けず、困っております。 塾のテキスト掲載のものですが、テキストに解答もなく、授業で取り扱う予定もなく、自分で何時間も考えましたが証明できず。。 数学、図形の得意な方のお力を借りたいと思い投稿させて頂きます。 どうぞよろしくお願い致します! 問題: △ABCで、辺AB、辺ACを一辺とする正三角形△PABと△QACをつくる。辺AP、AQ、BCの中点をそれぞれL,M,Nとするとき、△LMNが正三角形になることを示せ。 Hint1)合同な1組の三角形を作り出す Hint2)中点連結定理を使う 図形問題の為、伝わりにくいところがあるかもしれません。問題上わからないことがあればご連絡下さい。三角形ABCについては、何の仮定も存在しません。 ぜひ理解したいと思っているので、どうぞよろしくお願い致します…!

  • 証明問題について

    平行四辺形ABCDの辺AB.CDそれぞれの中点をE.Fとし.対角線BDとEC.AFの交点をそれぞれG.Hとするとき.  BG=GH=HD となります. このときを証明をしてくださいという問題があるんですが.自分は証明問題がきたらすぐあきらめてしまいます なので全然証明が出来ないので教えてくれませんか? お願いします