「中点を結ぶと平行になる」の証明

質問

三角形では、２辺の中点どうしを結ぶと、もう１辺と平行になります。これは中点連結定理ですが。
さて台形の平行でない対辺の中点を結ぶと、やはり他の対辺と平行になります。その証明は、こうやってみました。概要です。

台形ABCD(AD//BC)で、ABとDCを延長し、交点をPとする。
ABの中点をM、DCの中点をNとする。
ここでPM:PB=PN:PCを証明し、だから平行。

ところが、２組の辺の比が等しいことをバタバタと示すのは、たいへんでした。もっとスマートな（楽な）証明はないかと思っています。中学校２年生段階での証明をどなたか教えてください。
CDを平行移動してMとNが重なるようにするような、そういう証明でしょうか。他の証明はありますか。

回答No.4

debut · ベストアンサー

対角線ＡＣ の中点をＰとし、直線ＭＰとＣ Ｄの交点
をＱとする。
△ＡＢＣで中点連結定理より、ＭＰ//ＢＣ
よって、ＭＱ//ＢＣ・・・☆
△Ｃ ＰＱ∽△Ｃ ＡＤで、Ｃ Ｐ＝ＰＡなのでＣ Ｑ＝ＱＤ
したがって、ＱはＣ Ｄの中点、つまりＮである。
☆より、ＭＮ//ＢＣ

というのは？

お礼

ありがとうございます。QがNと一致するというわけですね。

回答No.6

yaemon_2006

> NはAPの中点でしょうか。
三角形NADと三角形NPCは、の関係は？

お礼

ありがとうございます。中点ですね。

回答No.5

tarame

直線ANと直線BCの交点をＰとおく。
△ABPにおいて、中点連結定理により
ＭＮ//ＢＰ　であるから　ＭＮ//ＢＣ

補足

NはAPの中点でしょうか。

回答No.3

yaemon_2006

A とC、MとC、DとB、Nとb、を結ぶ。
三角形ABC == 三角形DBC
AM : MB == DN : NC
よって、
三角形MBC == 三角形NBC
なので、
M、Nは、BCから等距離にある。
以上より、
MN // BC

お礼

ありがとうございます。三角形の高さを利用したんですね。

回答No.2

mis_take

> CDを平行移動してMとNが重なるようにするような
AとDが重なるようにしたらどうですか。

お礼

ありがとうございます。右の方に平行四辺形と中点を結んだ線分がありますね。左の線分も両方平行だというのですね。

補足

ADを平行移動させると、ADの中点は、中点どうしを結んだ線分の上を動くのでしょうか。

回答No.1

kabaokaba

よく考えられてますね．
かなり幾何が得意なようなので，
すこし細かい突込みを(^^;;

>台形ABCD(AD//BC)で、ABとDCを延長し、交点をPとする。
これがちょっとまずいんです．
交点が存在するとは限りませんよ．
平行四辺形も台形です．
したがって，証明の一部がかけてしまってます．
この点を除けば，まさに「バタバタ」と
PM:PB=PN:PCは示せますのでOKです．
なお，中点でなくても成立するのも，お気づきですよね．

平行四辺形のケースもひっくるめて，なおかつ
中点以外のケースも一緒にやってしまうには
次のような手も考えられます．

>CDを平行移動してMとNが重なるようにするような、
>そういう証明でしょうか。
基本線はそうですが，まじめに書くと結構厄介ですよ．

台形ABCD (AD//BC)において
ABをm:nに分ける点をM，DCをm:nに分ける点をNとし
対角線ACを引いておく．
今，Mを通り，下底辺BCに平行な直線とACの交点をPとおく
このとき，AP:PC=m:nである
つぎに，Nを通り，上底辺DAに平行な直線とACの交点をQとおく
このとき AQ:QC=m:nである
つまり，P=Q である．今後Qではなく，Pで表記統一する．
ここで，二つの直線MP，PNを考える
(この段階ではMPとPNをつなげると
折れ線かもしれないというのがポイント)
MP//BC (MPの作り方より)
BC//DA (台形だから)
DA//PN (PNの作り方より)
したがって，
直線MPと直線PN はともに，下底辺BCと平行でなおかつPを通る直線．
ある直線に平行で，特定の一点を通る直線は
ただ一つしか存在しないので，・・・(A)
直線MPと直線PNは一致する．
したがって，直線MPは直線NMでもあり
これは下底辺，上底辺とも平行である．

=========
(A)がきわめて重要．
(A)が成立しなければこの論法は無理です．
ユークリッド幾何（中学高校で扱う範囲）では問題ないですが
(A)が成り立たない幾何もあります．
詳しくは学校の先生に聞いてみてください．

お礼

ありがとうございます。やっぱり結構大変ですね。