高木貞治「 解析概論 」(岩波書店)の記載の疑問点

質問

題記の文献の p.119 "36. Legendre の球函数" の項目の中に p.121 の ( 5° ) として Pn (x) を n次 ( n≧1 ) の Legendre の多項式 としたとき、次のような記述があります。

( 5° ) Pn (x) = 0 の根はすべて実数で -1 と 1 との間にある。それらは単根で、Pn-1 (x) = 0 の根によって隔離される。すなわち Pn (x) の隣り合わせの二つの根の間に Pn-1 (x) = 0 の根が一つずつ配置される。

とあり、その下には以下のような説明が付記されています。

…… Pn (x) と Pn-1 (x) との間の根の配置は ( 2°) および ( 7 ) からわかる。……

因みに、
( 2°) Pn (1) = 1, Pn (-1) = ( -1 )^n

そして(7)は
( 4° ) 循環公式
( n+1 )*Pn+1 (x) - ( 2n+1 )*x*Pn (x) + n*Pn-1 (x) = 0
( 7 )
です。

私の勉強不足なのか、( 5° ) の定理そのものは内容は理解できるのですが、詳しい証明もなしに、一行にも満たない短文で、自明のように書かれている付記説明の「 …わかる。」という所が全く理解不能です。

この部分を説明した文献の紹介でも結構ですので、どなたか、ご教示いただきたく、よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

良く考えてみると分ります。P[n](x) = 0 の小さいほうから m 番目の解を、z[n,m] と書くことにします。流れとしては、

P[n](x)とP[n-1](x)の解の配置が入れ子になっている（そしてこれらの解はすべて単根）と仮定して、P[n+1](x)とP[n](x)の解の配置もやはり入れ子になっていることを導く

という方針でいきます。

◯ まず、(7)の漸化式から、nが奇数の時はP[n](x)は奇関数、nが偶数の時はP[n](x)は偶関数となるのはいいでしょう。何れにせよ、P[n+1](x) = 0 なら P[n+1](-x) = 0 となります。

◯ で、先ず z[n,n] ≦ x ≦ 1 の範囲を考えます。P[n+1](1) = P[n](1) = P[n-1}(1) = 1 > 0 なのは分かっているものとします( 2°) 。一方、P[n+1](z[n,n]) の『符号』を考えると、P[n](z[n,n]) = 0 ですが、 P[n-1](x) は z[n,n]≦x≦ 1 の間で符号を変えない(!!!)ので
※ 何故ならP[n-1](x) = 0の最大解 z[n-1, n-1] は、「仮定」から z[n,n-1] < z[n-1, n-1] < z[n,n] を満たすので、z[n,n]≦x≦ 1 の間では P[n-1](x) = 0 は解をもたない
P[n-1] (z[n,n]) > 0です。従って(7)から P[n+1](z[n,n]) < 0 となります。従って、P[n+1](x) = 0 は、z[n,n] < x < 1 の範囲で少なくとも一つ解を持ちます。

◯ よって、P[n+1](x) = 0 は、-1 < x < z[n,1] の範囲でも少なくとも一つ解を持ちます。

◯ 今度は、z[n, k] ≦ x ≦ z[n, k+1] の範囲を考えます。ここで、z[n, k] ≦ x ≦ z[n, k+1] の範囲における P[n-1](x) = 0の解は、「仮定より」 z[n-1,k]だけで、z[n,k] < z[n-1, k] < z[n, k+1] であることに注意します。
さて、P[n](z[n,k]) = P[n](z[n, k+1]) = 0ですが、一方、P[n-1](x)は、 z([n-1, k] の前後で『符号が入れ替わります』（なぜならz[n-1, k] はP[n-1](x) の『単根』だから）。従ってP[n-1](z[n,k]) と P[n-1](z[n, k+1]) とは符号が逆になっており、従って 漸化式 (7)から P[n+1](z[n,k]) と P[n+1](z[n,k+1])の符号も逆、よってP[n+1](x) = 0 は z[n, k] ≦ x ≦ z[n, k+1] の範囲で少なくとも 1つの解をもつ事が分ります。

◯ 結局 P[n+1](x) = 0 の解は、[-1, z[n, 1] ] の間に 『最低』1つ、[z[n, k], z[n, k+1]] のそれぞれの区間に『最低』一つ、[ z[n,n], 1] の間に『最低』一つ解があることになりますが、これだけで既に合計 (n+1)個解があります。P[n+1](x) は (n+1)次多項式ですから、P[n+1](x) = 0 の解は最大でも(n+1)個しかないので、これで全て出尽くしていることが分かり、P[n+1](x)とP[n](x)の解の配置もやはり入れ子になっていること、又同時に解がすべて単根であることも分ります。

補足

回答ありがとうございましたいました。返答が遅くなり、申し訳ありません。
1つだけ確認させてくください。

貴方の回答の最後の段落で ( 私の判断で閉区間を開区間に変更させていただきました。間違っていれば、ご指摘ください。)、

「 結局 P[n+1](x) = 0 の解は、(-1, z[n, 1] ) の間に 『最低』1つ、(z[n, k], z[n, k+1]) のそれぞれの区間に『最低』一つ、( z[n,n], 1) の間に『最低』一つ解があることになりますが 」

とありますが、「 (-1, z[n, 1] ) の間に 『最低』1つ 」且つ「 ( z[n,n], 1 ) の間に『最低』一つ 」というのは自明ではないように思えます。
これを示すには P[n+1](Z[n,n]) < 0 であることを示すことにより、P[n+1]( 1 ) = 1 から ( z[n,n], 1 ) に奇数個の単根が存在し、根の数は２個以下であることから１個であることが示せて、従って残りの１個の根は ( -1, z[n, 1] ) の間に存在するしかない。といことを示す必要があるように思えます。

これは、数学的帰納法の仮定と P[n-1](1) = 1 であることから ( z[n,n], 1 ) の間で P[n-1] = 0 が解を持たないために P[n-1](z[n,n]) > 0 とならねばならない。従って漸化式 (7) に z[n,n]) を代入することにより、P[n+1](z[n,n]) < 0 が得られる。

という考え方でよいのでしょうか。? それとも、もっと簡単に「 (-1, z[n, 1] ) の間に 『最低』1つ 」且つ「 ( z[n,n], 1 ) の間に『最低』一つ 」ということは示せるのでしょうか。

回答No.2

tmppassenger

> 「 (-1, z[n, 1] ) の間に 『最低』1つ 」且つ「 ( z[n,n], 1 ) の間に『最低』一つ 」というのは自明ではないように思えます。

よく読みましょう。
まず、「 ( z[n,n], 1 ) の間に『最低』一つ 」の部分は、ちゃんと証明を書いてあるでしょう。『◯ で、先ず z[n,n] ≦ x ≦ 1 の範囲を考えます。』
で始まる段落を読みましょう。

で、「 (-1, z[n, 1] ) の間に 『最低』1つ 」というのは、『◯ まず、(7)の漸化式から』の段落で、『何れにせよ、P[n+1](x) = 0 なら P[n+1](-x) = 0 』と書いてあるでしょう。（z[n,1] = -z[n,n] ですよ）

お礼

ありがとうございました。長い間疑問であったことが解決いたしました。