図形と極限

質問

平成１６年度チャートの問題　　例題２４の問題です。

関数ｆ（ｘ）＝X＾２ー３X＋２に対して点列P１、P2、P3、・・・Pn　を次のように定める。
P1（３、ｆ（３））：N=1、２、３、・・・に対して放物線Y=ｆ（ｘ）上の点Pｎにおける接戦とX軸との交点をQｎ＋１とし、Qｎ＋１においてX軸に垂線をたて
放物線Y=ｆ（ｘ）との交点をPｎ＋１とする。
この操作を繰り返すとき、点Pｎはどんな
点に近づくか？

この問題の答えは、点（２、０）に近づくなのですが、その途中に、
漸化式X[ｎ＋１]＝X[ｎ]＾２－２／２X[ｎ]-３
とあり、この漸化式を解くのに、α＝α＾２－２／2α-3　α＝1.2でα＝2

このαを使った式の意味が、解りません。
また、α＝２と解っても、そのα＝２を使って、
X[ｎ+1]-2＝（X[ｎ]＾２-2／2X[ｎ]-3）-2

でX[ｎ+1]-2になぜ、ここに-２がくるのか？
解りません。

よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

「チャート」というのは、学習参考書の名前かと思います。
解説なしで略解だけ書いてある本なのでしょうか。

ひとつめの質問： なぜ α = (α^2 - 2) / (2α - 3) がでてくるのか？

これは、極限の基本的な性質
　　lim[x→a] f(x) が収束し、しかも
　　g(y) が y = lim[x→a] f(x) で連続ならば、
　　lim[x→a] g( f(x) ) = g( lim[x→a] f(x) )。
があるからです。

lim[n→∞] x[n] が、もし収束すると仮定すると、その場合には、
上記の性質より、lim[n→∞] x[n] = α とおくと
lim[n→∞] (x[n]^2 - 2) / (2x[n] - 3) = (α^2 - 2) / (2α - 3)
が成り立ちます。
また、lim[n→∞] x[n+1] = α でもありますから、
x[n+1] = (x[n]^2 - 2) / (2x[n] - 3) より、
α = (α^2 - 2) / (2α - 3) となります。

lim[n→∞] x[n] が収束するかどうかは、今のところわかっていませんが、
収束するとすれば、その極限 α は、α = (α^2 - 2) / (2α - 3) を
満たすもの以外にはありえない ということです。

ふたつめの質問： x[n+1]-2 の 2 は、どこからやってきたのか？

要するに、これは α です。

α = 2 が求まった時点で、lim[n→∞] x[n] は、
収束しないか、= 2 であるかのどちらか一方です。
そこで、lim[n→∞] x[n] = 2 を証明しようと企画するのですが、
ある数列が 2 へ収束することよりも
ある数列が 0 へ収束することのほうが扱い易いので、
x[n] → 2 を x[n] - 2 → 0 と変形して考えるのです。

t[n] = x[n] - 2 とおけば、
x[n+1] = (x[n]^2 - 2) / (2x[n] - 3) は、
t[n+1] + 2 = { (t[n] + 2)^2 - 2 } / { 2(t[n] + 2) -3 } と
変形されます。
この t[n] の漸化式を使って、lim[n→∞] t[n] = 0 を示すことができれば、
lim[n→∞] x[n] = 2 が証明されたことになります。