関数

質問

図で、直線Ｌは点Ａ(0.5)、点B(10.0)を通り、直線mの式はy＝－2Ｘ－4である。直線mとＸ軸、y軸との交点をそれぞれC、Dとし、また、Ｌとmとの交点をPとする。

(1)Ｘ軸に平行な直線nの式をy＝aとする。nとＬ、mとの交点をそれぞれR、Qとする。△PDA≡△PRQとなるとき、aの値を求めなさい。

答えは(1)2です。

求め方を教えてください！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

直線L：y = -x / 2 + 5
直線M：y = -2x - 4
Mとx軸との交点は、0 = -2x - 4より、C(-2, 0)
Mとy軸との交点は、D(0, 4)
LとMの交点Pを求める。
y = -x / 2 + 5 ... (1)
y = -2x - 4 ... (2)
(1) - (2)より、0 = 3x / 2 + 9, x = -6, y = 8
P(-6, 8)
NとLの交点Rを求める。
y = a ... (3)
y = -x / 2 + 5 ... (4)
(3) - (4)より、0 = x / 2 + a - 5, x = 10 - 2a
R(10 - 2a, a)
NとMの交点Qを求める。
y = a ... (5)
y = -2x - 4 ... (6)
(5) - (6)より、0 = 2x + a + 4, x = -a / 2 - 2
Q(-a / 2 - 2, a)
△PDA = 9 * 6 / 2 = 27
△PRQ = (10 - 2a + a / 2 + 2) * (8 - a) / 2 = (-3a / 2 + 12) * (8 - a) / 2
= (3a - 24)(a - 8) / 4 = 3(a - 8)^2 / 4
27 = 3(a - 8)^2 / 4
(a - 8)^2 = 36
a - 8 = ±6
a = 14, 2
a = 14は不適
∴a = 2

お礼

丁寧な説明ありがとうございました！わかりやすかったです(*- -)(*_ _)ペコリ

回答No.2

noname#223031

参考までに追加回答します。
なお、この質問は関数というよりも、図形で考えた方が理解しやすいです。

y軸と直線nの交点をS(0,a)とします。
直角三角形ASRと直角三角形QSDにおいて、
直線lの傾きが-5/10=-1/2であるから、AS：SR=１：２
また、直線mの傾きが-2であるから、QS：SD=1：２
これから、SR/AS= SD/QS→ QS/ AS= SD/ SR
よって、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、直角三角形ASRと直角三角形QSDは相似になります。
これから、∠SRA=∠SDQであり、∠QRP=∠ADP
また、∠RAS=∠DQSであり、∠DAP=∠RQP
△PDAと△PRQにおいて、∠ADP＝∠QRP、∠DAP=∠RQPであるから、DA=RQであれば、1辺とその両端の角がそれぞれ等しく、△PDA≡△PRQになります。
点Dのy座標は-4であるから、DA=DO+OA=4+5=9
RQ=QS+SR=SD/2+2AS=(SO+OD)/2+2(AO-SO)=(a+4)/2+2(5-a)
よって、(a+4)/2+2(5-a)=9から、a=2

以上では、直角三角形ASRと直角三角形QSDが相似になることについて、詳しく触れましたが、慣れれば一目でわかります。
さらに、△PDA≡△PRQになるためには、DA=RQであればいいことも簡単にわかり、面倒な式は一切不要です。