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数学の問題です。(漸化式)
方程式y=-x^2+a(n)x+b(n)で定義された放物線c(n)の頂点の x軸からの高さは10/2^n,x軸との交点のx座標はα(2n),α(2n+1)である。 α(0)=0,α(2n-1)=α(2n)であるとき,lim(n→∞)α(n)を求めよ。 ただし,α(2n)<α(2n+1) という問題なのですが c(n)の方程式はy=-{x-α(2n)}{x-α(2n+1)}-(1) 頂点のx座標はx軸との交点の中点なので{α(2n)+α(2n+1)}/2 10/2^nは頂点のy座標なので(1)に代入して 10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)] =-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)α(2n+1)}/2 と、ここまで解けたのですが (この時点で間違えていたらすみません:) ここから先が解けません・・・ 詳しく教えてください。
- 47wy
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10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)] =-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)-α(2n+1)}/2 ={α(2n+1)-α(2n)}^2/4 ジョウケンα(2n-1)=α(2n)ヲダイニュウシテ ={α(2n+1)-α(2n-1)}^2/4 ={α(2n+1)-α(2n-1)}^2/4 40/2^n={α(2n+1)-α(2n-1)}^2 ジョウケンα(2n)<α(2n+1)ヨリ α(2n-1)<α(2n)<α(2n+1)ナノデ α(2n+1)-α(2n-1)>0 コレヨリ (40/2^n)^(1/2)=α(2n+1)-α(2n-1) コノシキヲモチイテ (40/2^1)^(1/2)=α(3)-α(1) (40/2^2)^(1/2)=α(5)-α(3) (40/2^3)^(1/2)=α(7)-α(5) (40/2^4)^(1/2)=α(9)-α(7) : 中略 : : (40/2^(n-1))^(1/2)=α(2n-1)-α(2n-3) (40/2^n)^(1/2)=α(2n+1)-α(2n-1) イジョウヲタシテ α(2n+1)-α(1)=Σ(40/2^k)^(1/2) (k;1⇒n) =2√10Σ(1/√2)^(k) (k;1⇒n) =(2√10)(1/√2){1-(1/√2)^n}/(1-1/√2) α(1)=0 lim(n→∞)α(n)=lim(n→∞)α(2n+1) =(2√5)/(1-1/√2) =(2√10)/(√2-1) =(2√10)(√2+1) コンナカンジカナ?
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- tecchan22
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頂点の(x軸からの)高さが10/2^nで、2次の係数が-1の放物線の、x軸との交点のx座標の差は、2√(10/2^n)ですね? (y=-x^2+10/2^nを考えてみよう) よって求める極限は、 0+Σ(n=0→∞){2√(10/2^n)} =2√10+2√5+2√(5/2)+・・・ =2√10(1+1/√2+1/2+1/2√2+・・・) =2√10/(1-1/√2) =4(√10+√5) となります。 ※#2さんの解で、α(1)=α(0)+2√10=2√10と修正したものと同じです。
失礼しました。 問題文はα(1)=0ではなく α(0)=0でした。 この点に注意して修正願います。
- shippo_ppk
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#2の解き方で概ね良いのですが、問題文に対して不整合があるので、その点に注意して解いてみてください。 α(1)=α(0) は α(2n)<α(2n+1) の条件に反します。
- shippo_ppk
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> 10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)] > =-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)α(2n+1)}/2 の2行目への変形は間違ってます。 それから α(2n-1)=α(2n) という条件があるので、x軸との交点を α(2n) と α(2(n+1)) として、漸化式を作ってみてください。
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回答ありがとうございます。 α(0)=0 の使いどころがわからないのですが。。。