数学III 接線、極限の問題

質問

ｙ＝ルートｘ(ｘ≧0)のグラフをCとして、点(0,1)をP１、点(1,1)をT１とおく。
T1におけるCの接線がｙ軸と交わる点をP2とおき、
P2を通りｘ軸に平行な直線がCと交わる点をT2とおく。
T2におけるCの接線がｙ軸と交わる点をP3とおき、
P3を通りｘ軸に平行な直線がCと交わる点をT3とおく。
以下この操作を続け、y軸上に点列P1,P2,P3……,Pn,……をとり、
C軸上に点列T1,T2,T3……,Tn,……をとる。

問一　　T2とT3の座標を求めよ。

問二　　PnとTnの座標をnの式であらわせ。

問三　　三角形Tn Pn Pn+1 の面積をSnとしたとき、
　　　　　S1＋S2＋S3＋……＋Sn＋……
　　　　　を求めよ。(つまり無限に加えていったときの和)

ちなみに答えは T2(1/4, 1/2) T3(1/16, 1/4)

Pn(　0,　(1/2)のn-1乗 ) Tn＝( (1/4)のn-1乗　, (1/2)のn-1乗　　)

和は2/7となる。

という風な答えになっていますが、問二以降の導き方がわかりません。
解説お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

問一　　T2とT3の座標を求めよ。
>C:y=x^(1/2)
y'=(1/2)/x^(1/2)
C:x=y^2
であることから、グラフを描いて順に各点を求めて行けば良い。
P1(0,1)→T1(1^2,1)=(1,1)→P2(0,1/2)→T2((1/2)^2,1/2)=(1/4,1/2)
→P3(0,1/4)→T3((1/4)^2,1/4)=(1/16,1/4)]→　…
(答え) T2(1/4, 1/2) T3(1/16, 1/4)

問二　　PnとTnの座標をnの式であらわせ。
>問一のP,Tをそれぞれについて並べて書いて規則性を見つけて、一般項を導けば良い。
P1(0,1),P2(0,1/2),P3(0,1/4),P4(0,1/8), … ,Pn(0,1/2^(n-1)), …
T1(1,1),T2((1/2)^2,1/2),T3((1/4)^2,1/4), … ,Tn((1/4)^(n-1),1/2^(n-1)), …
(答え) Pn(0,(1/2)^(n-1)), Tn((1/4)^(n-1),(1/2)^(n-1))

問三　　三角形Tn Pn Pn+1 の面積をSnとしたとき、
　　　　　S1＋S2＋S3＋……＋Sn＋……
　　　　　を求めよ。
>Sn=(1/2)PnTn*PnP(n+1)=(1/2){(1/4)^(n-1)}*{(1/2)^n}
　 =(1/2)^(1+2n-2+n)
　 =(1/2)^(3n-1)=2*(1/8)^n
S1+S2+S3+ … +Sn+ …=2{(1/8)+(1/8)^2+(1/8)^3 + … }
=(1/4)/(1-(1/8))=(1/4)(8/7)
=2/7
(答え) 2/7

回答No.1

Tacosan

2: 漸化式を導いて解く.
3: 級数を計算する.