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真夜中にどうもこんばんわ
毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして…
考えていたらこんな時間になってしまいましたっ

ですので、回答解説お願いします…!

Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき線分OP1とx軸とのなす角をθ(0<θ<π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2>0)とする。
次に点(0,x2)を中心とする半径x2の円と、線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3>0)とする。
以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn>0)と定める。
(1)x2,xnをそれぞれθを用いて表せ。
(2)θ≠π/4のとき、lim[n→∞]Σ[k=1,n]xkを求めよ。
(3)(2)で得られた値をf(θ)とおくとき、lim[θ→π/4+0]f(θ)およびlim[θ→π/2-0]f(θ)を求め、f(θ)=1を満たすθが区間π/4<θ<π/2の中に少なくとも1つであることを示せ。

回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 64% (697/1085)

Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき線分OP1とx軸とのなす角をθ(0<θ<π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2>0)とする。
次に点(0,x2)を中心とする半径x2の円と、線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3>0)とする。
>以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn>0)と定める。
図を描いて下さい。点(0,x1)を中心とする半径x1の円の中心をO1とする。

>(1)x2,xnをそれぞれθを用いて表せ。
x1=OP1cosθ=cosθ (OP1=1)
△O1OP2は、等辺x1の二等辺三角形。底角=π/2-θだから、
角OO1P2=π-2×(π/2-θ)=2θ
余弦定理より、
OP2^2=x1^2+x1^2-2×x1×x1cos(2θ)
    =2cos^2(θ)-2cos^2(θ)cos(2θ)
    =2cos^2(θ)(1-cos(2θ))
    =2cos^2(θ)・2sin^2(θ)
OP2=2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)だから、
x2=OP2cos(θ)=sin(2θ)cos(θ)
xn=sin^(n-1)(2θ)cos(θ)

>(2)θ≠π/4のとき、lim[n→∞]Σ[k=1,n]xkを求めよ。
Σ[k=1,n]xk=Σ[k=1,n]sin^(k-1)(2θ)cos(θ)
      =cos(θ){1-sin^n(2θ)}/{1-sin(2θ)}
初項cos(θ),公比sin(2θ)の無限等比級数で、
0<θ<π/2,θ≠π/4より、0<sin(2θ)<1だから、
lim[n→∞]Σ[k=1,n]xk=cos(θ)/{1-sin(2θ)}

>(3)(2)で得られた値をf(θ)とおくとき、
lim[θ→π/4+0]f(θ)およびlim[θ→π/2-0]f(θ)を求め、f(θ)=1を満たすθが
>区間π/4<θ<π/2の中に少なくとも1つであることを示せ。
f(θ)=cos(θ)/{1-sin(2θ)}とy=1の交点を調べる。
f'(θ)={sin(θ)(sin(2θ)-1)+cos(θ)cos(2θ)}/{1-sin(2θ)}^2
π/4<θ<π/2で、分母={1-sin(2θ)}^2>0
分子は、sin(θ)(sin(2θ)-1)<0(sin(θ)>0,sin(2θ)-1<0)
cos(θ)cos(2θ)<0(cos(θ)>0,cos(2θ)<0)より、分子<0
よって、f'(θ)<0だから、f(θ)は、π/4<θ<π/2で単調減少
区間の端で、lim[θ→π/4+0]f(θ)=+∞,lim[θ→π/2-0]f(θ)=0
だから、f(θ)は、y=1と、少なくとも1点で交わる。
よって、f(θ)=1を満たすθが
区間π/4<θ<π/2の中に少なくとも1つである。

でどうでしょうか?
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  • 回答No.1

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