数学A 集合と命題について

質問

次の問題の解説をお願いします。

(1)あるyについてxy>0ならばx>0である。

答えは、偽です。あるyが負の時とき、xは負でないといけないからだそうです。
でもあまりしっくりきません、、
「あるy」だから、何か1つが当てはまるれば、良いのではないでしょうか？
例えばy＝3 ならxも正であればよく、当てはまるので正になる、と思いました。

(2)すべてのyについてxy≦0ならばx≦0である。

答えは真です。どんなyでもxy≦0になるには、x＝0でならなければならず、それがx≦0に当てはまるからだそうです。

しかし、y＝3 x＝-3などであったら、ならばの前は当てはまるけど、後は当てはまりません。
だから偽だと思いました。
ならばの前では当てはまるけど、ならばの後では当てはまらない場合が、「偽」であるという認識をしているのですが、間違いなのでしょうか、

この2問の解説をお願いします。

回答No.4

f272

2A.(すべてのyについてxy≦0)ならばx≦0である。
において
x＝3、y＝-3なら、ならばの前に当てはまりません
(すべてのyについてxy≦0)ですよ。あなたのあげた例は例にすぎません。すべてのyについてxy≦0でなければいけないのです。

お礼

最後までご回答いただきありがとうございます。ちょっとスッキリしました。

回答No.3

f272

1A.(あるyについてxy>0)ならばx>0である。

「「あるy」だから、ある一つが当てはまれば」と言いますが，バラ場の前にある条件に関してxについては限定されていません。だからxについてはすべての場合を考える必要があるのです。

2A.(すべてのyについてxy≦0)ならばx≦0である。

「何か一つが当てはまらなかったら」といいますが，あなたのあげた「y＝3 x＝-3などであったら」は条件に当てはまっていますよ。偽になる根拠にはなりません。だからと言ってこれだけでは真になる根拠にもなりませんが...

補足

(1)はなんとなくわかりました！！

(2)は間違いです。ごめんなさい。
x＝3、y＝-3なら、ならばの前は当てはまるけれど後は当てはまりません。だから、偽ではないでしょうか？

回答No.2

f272

> (1)あるyについてxy>0ならばx>0である。

これは紛らわしいい書き方です。
1A.(あるyについてxy>0)ならばx>0である。
1B.あるyについて(xy>0ならばx>0である)。
で1Aならば答えの通りですが，1Bならばあなたの考えが正しくなる。
1Aの解釈ならば「y＝3 ならxも正であればよく」という例を持ち出してもすべてを尽くしているわけではない。yが負の場合も考えなくてはいけません。

> (2)すべてのyについてxy≦0ならばx≦0である。

これも紛らわしいい書き方です。
2A.(すべてのyについてxy≦0)ならばx≦0である。
2B.すべてのyについて(xy≦0ならばx≦0である)。
答えでは2Aの解釈をしているようです。
2Aの解釈をしているとき，あなたのあげた「y＝3 x＝-3などであったら」はすべてのyについて考えていないのですから，それだけを考えても正解にはたどり着きません。

補足

(1)は、「あるy」だから、ある一つが当てはまれば良いのではないでしょうか

(2)は、「すべてのy」だから、何か一つが当てはまらなかったらダメなのではないでしょうか

回答No.1

notnot

> 「あるy」だから、何か1つが当てはまるれば、良いのではないでしょうか？

ちがいます。
1つでも当てはまらない物があると偽です。

> しかし、y＝3 x＝-3などであったら、ならばの前は当てはまるけど、後は当てはまりません。

すべてのyについて成り立たないといけませんが、x=-3だとならばの前が成り立ちません。

どうも「ある」と「すべて」を逆に考えてしまっているのでは？
あなたの場合、対偶を取った方がわかりやすいかも知れません。対偶は元の命題と同値なのはご存じですよね？

1つ目の対偶は、
x>=0ならば、すべてのyについてxy<=0である
⇒偽

2つ目、
x>0ならば、xy>0となるyが少なくとも1つ存在する
⇒真