命題と集合の問題について

質問

この問題がわからないので教えてください！！
(１)次の命題は偽である。反例を１つあげよ。
　　Ｘ＞０またはＹ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０

この問題の答えはＸ＝－３,Ｙ＝２なのですがどうしてもこの答えになる意味がわからないので理解が出来ません・・
だれかこの問題を詳しく解説していただく方がいたらお願いします！！

回答No.3

stomachman

出題者が意図している（であろう）「命題」をきちんと書くと、おそらく

「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
　）」
でしょう。この命題（「命題P」と呼ぶことにします）は

P:「任意のＸ,任意のＹについてA(Ｘ,Ｙ）」
という形をしています。
A(Ｘ,Ｙ):「Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）」
は「自由変数（ＸとＹ）を含む論理式」あるいは「述語」と呼ばれるものです。ＸとＹは変数であって、A(Ｘ,Ｙ）は、ＸとＹに具体的なナニカを代入すると初めて命題になります。

そこで、例えばＸ＝－３かつＹ＝２であるとすると、命題
A(-3,2):「（－３＞０または２＞０）ならば(－３)＋２＞０」
が得られます。
(1) －３は整数である
(2) ２は整数である
だから命題
B(-3,2):「－３は整数 かつ ２は整数」
は真。
(3) ２＞０
だから命題
C(-3,2):「－３＞０または２＞０」
は真。しかし、命題
D(-3,2):「(－３)＋２＞０」
は偽なので、命題A(-3,2)、すなわち「C(-3,2)ならばD(-3,2)」は偽です。このように、A(X,Y)が偽になるようなX,Yの組み合わせが（ひとつでも）存在するのだから、命題
P:「任意のＸ,任意のＹについてA(X,Y)」
は偽である。

　反例は何も「Ｘ＝－３かつＹ＝２」に限ったことじゃなくて、具体的なＸとＹの組み合わせをひとつ挙げて（たとえばX=x, Y=y（ただしx,yは具体的な数値）としましょう）、それを代入したときに得られる命題が
命題B(x,y)は真、命題C(x,y)は真、命題C(x,y)は偽
になれば、そのx,yの組み合わせが「反例」（命題Pが偽である事を示す具体例）です。だから「Ｘ＝２かつＹ＝－３」でも反例になっています。

　しかしこの問題文には不備がある。第一に、
[1] ＸとＹが何を指しているか、範疇を明示していないのは酷いですね。例えば、
Q:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは自然数 かつ Ｙは自然数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
　）」
という命題は真ですし、
R:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは負の整数 かつ Ｙは負の整数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）
　）」
も真。いずれも反例がありません。
　問題文は「次の命題は偽である。」という文言によって、問題文の意図している「命題」がQでもRでもない、ということを推測しろとでもいうのでしょうかねえ。しかし、

[2] そもそも
「Ｘ＞０またはＹ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０」
は命題じゃありません。ＸとＹが何を表すかを明示して
「（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０）」
としてもなおこれは命題ではなくて述語A(X,Y)ですから、「真か偽か」と問うのはまるでオカド違いです。
　述語A(X,Y)は（既に説明したように）具体的にX,Yを決めれば命題になりますし、また、先頭に
「任意のＸ, 任意のＹについて」
「Ｘが存在して, Ｙが存在して」
「任意のＸについて, Ｙが存在して」
「Ｘが存在して, 任意のＹについて」
「任意のＹについて, Ｘが存在して」
「Ｙが存在して, 任意のＸについて」
のどれか（限量子と呼びます）をくっつけても命題になります。例えば、
S:「任意のＸについて, Ｙが存在して
　（（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
　 （（Ｘ＞０またはＹ＞０）ならばＸ＋Ｙ＞０））」
は命題であり、真か偽かを問うことが意味を持ちます。（命題は「閉じた論理式」「自由変数を含まない論理式」とも呼ばれます。）

[3] ANo.1, 2で指摘されているとおり、問題文に括弧が付いていないのもまずい。「Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０）」と読むこともできるから、解釈が定まらないのです。

[4] 解答もよろしくない。[3]のように括弧を付けて読んで、さらに記述の不足を補って、例えば命題
T:「任意のＸ,任意のＹについて（
（Ｘは整数 かつ Ｙは整数）ならば
　 （Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０））
　）」
を考えたとすると、Tは偽である。なぜならＸ＝-３、Ｙ＝２は反例です。これが反例になっているのは、
「２＞０」は真であるが、
「(-３)＋２＞０」は偽であるから、
「２＞０ならば(-３)＋２＞０」は偽である。そして、
「-３＞０」は偽である。だから、
「-３＞０または（２＞０ならば(-３)＋２＞０）」は偽である。そして、
「-３は整数 かつ ２は整数」は真である。
だから「（-３は整数 かつ ２は整数）ならば（-３＞０または（２＞０ならば(-３)＋２＞０））」は偽である。反例が存在するから、Tは偽である。
　つまり、ややこしいことに、問題文を「Ｘ＞０または（Ｙ＞０ならばＸ＋Ｙ＞０）」と読んだ場合でも、解答にある「Ｘ＝-３、Ｙ＝２」が反例になっている。（しかし、X＝2、Y=-3 は命題Pの反例であるが、命題Tの反例ではありません。）だから、出題者がどっちの読み方をさせようとしたのか、解答を見てもまだ決まらない。

　これらの理由で、この問題文および解答は甚だ不適切です。せっかく理解しかけている学習者を混乱させてしまいそうな、大変出来の悪い問題であり、出題者のセンスのなさってか馬（以下略）

回答No.2

Caper

● ANo.1 において、かっこを用いるように私はすすめました。そのかっこの用いかたに、先入観がはたらいてしまったようです。ごめんなさい。
　 次のようなかっこの用いかたも考えられます。

　 X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )

● 上記のようなかっこの用いかたがなされたときも、やはり偽になるのではないかと私は思います。

　 ( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) という命題を考えるとき、Y = 2 ですから Y > 0 を満たします (真)。そして、X = -3, Y = 2 ですから、X + Y = -1 となり、X + Y > 0 を満たしません (偽)。ですから、この場合、( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) という命題は偽になると、私は思います。

　 ( X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )) という命題を考えるとき、X = -3 ですから X > 0 を満たしません (偽)。そして、上記の結果より、( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) は偽です。ですから、( X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )) という命題は偽になると、私は思います。

回答No.1

Caper

● まず、命題の示されかたがよくないかもしれません。例えば、次のようにかっこなどを用いたほうがよいのではないかと、私は思います。

　 ( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0

● ( A または B ) という命題は、A と B の両方もしくはどちらか一方が真であれば、真になります。( A または B ) という命題は、A と B の両方が偽のときにだけ、偽になります。

　 そこで、( X > 0 または Y > 0 ) という命題の真偽について考えましょう。X = -3 は X > 0 を満たしません (偽)。Y = 2 は X > 0 を満たします (真)。ですから、この場合、( X > 0 または Y > 0 ) という命題は真になるのではないでしょうか。

● ( A ならば B ) という命題は、A が真であり、なおかつ B が偽であるときのみ偽になります。そのほかのときはすべて真になります。

　 そこで、(( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0 ) という命題について考えましょう。上記の結果より、( X > 0 または Y > 0 ) は真です。そして、X = -3, Y = 2 であるとき、X + Y = -1 となりますから、X + Y > 0 を満たしません (偽)。ですから、この場合、(( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0 ) という命題は偽になるのではないでしょうか。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

お礼

ありがとうございました！