三角関数

質問

(2sinθ + cosθ +1)(sinθ + 2cosθ -1)=0 (0≦θ≦π)の解の和を求めよ。

という問題を以下の様に解きましたが間違っていました。正しい解法を教えてください。よろしくお願いいたします。

2sinθ + cosθ +1=0　(1)　又は　sinθ + 2cosθ -1=0　(2)　である。
(1)(2)より、sin(θ+α)= - 1/√5 , sin(θ+β)=1/√5となる。
(但し、sinα=1/√5,sinβ=2/√5)
この時、sinα=cosβ,cosα=sinβより、α+β=π/2である。
従って与式の解の和は、
(θ+α)+(π-(θ+α))+(π+(θ+α))+(2π-(θ+α))-2(α+β)=3π

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

先ず
> (0≦θ≦π)の解の和を求めよ。
と言っているので、少なくとも解の和は0以上ですよね...

で、求めた解が0≦θ≦πの範囲に入っているか、ちゃんと確かめしょう。

◯
先ず、2sinθ + cosθ +1 = 0を解くと、sin α = 1/√5, 0 < α <π/2なる角を用いて sin(θ+α ) = -1/√5となりますが、ここで α ≦θ+α ≦ π+αなる範囲のものを求めなければいけません。
0 < α <π/2 かつ π < π+α + (3/2)π である故、sin(θ+α ) （α ≦θ+α ≦ π+α）の取り得る値は、最大値 1 (θ+α = π/2) , -1/√5 (θ+α = π+α）となって、実は sin(θ+α ) = -1/√5の解は θ = π しかありません。

実際、0≦θ≦πなら sinθ ≧0であるので、 2sinθ + cosθ +1 = 0となるには、sinθ =0かつcosθ = -1となる以外他ありませんね？

◯
sinθ + 2cosθ -1 = 0も、sinβ = 2/√5, 0<β < なる角を用いてsin(θ+β) = 1/√5となりますが、sin(θ+β) (β≦θ+β≦π+β)の取り得る値は、最大値1（θ+β=π/2) , -2/√5 (θ = π)であって、従ってsin(θ+β) = 1/√5 (β≦θ+β≦π+β)の解は、θ+β = π/2 + β 、つまり θ =π/2の時しかありませんね。
（sinβ = 2/√5が、すでに 1/√5を超えてしまっていることに注意）

というわけで合計は(3/2)πです。きちんとグラフを書くなどして、範囲を確かめましょう。

お礼

ありがとうございました。
詳しい説明感謝します。

回答No.3

gamma1854

2*sinθ+cosθ+1=0 or sinθ+2*cosθ-1=0, (0≦θ≦pi) であり、
2*sinθ+cosθ+1=0 より, sinθ=0 or -4/5.
これから、θ=pi,
一方、sinθ+2*cosθ-1=0, より, cosθ=0 or 4/5.
これから、θ=pi/2, Arccos(4/5).
条件にあうのは、θ=pi/2.
● 問題の範囲にある方程式の解は以上の２つでありこれらを加えてください。

お礼

ありがとうございました。
解答までたどり着けました。

回答No.1

asuncion

(2sinθ + cosθ + 1)(sinθ + 2cosθ - 1) = 0
より、
2sinθ + cosθ + 1 = 0 ... (1)
sinθ + 2cosθ - 1 = 0 ... (2)

三角関数の合成より
(1)は√5sin(θ + α) + 1 = 0, ただしsinα = 1/√5 ... (3)
(2)は√5sin(θ + β) - 1 = 0, ただしsinβ = 2/√5 ... (4)

(3)よりsin(θ + α) = -1/√5, θ + α = arcsin(-1/√5) = -arcsin(1/√5) = -arcsin(sinα) -= -α ... (5)
(4)よりsin(θ + β) = 1/√5, θ + β = arcsin(1/√5) = arcsin(sinα) = α ... (6)

(5)よりθ = -2α, (6)よりθ = α - β
2解の和は-α - β = -(α + β) = -π/2

お礼

回答ありがとうございます

補足

逆三角関数はまだ取り扱っていないので、それなしでお願いします。