中学受験算数の解説をお願いします

質問

問題 ある土地を耕すのに、機械Aを6台使うと8時間かかり、機械Bを10台使うと6時間かかります。この土地を、はじめAだけ5台使って耕しましたが、途中からB3台を追加して耕したところ、全部で8時間24分かかりました。Bを追加したのは、耕し始めてから何時間何分後ですか。
子供自身、解説を読んでもよくわかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

Kurikuri Maroon（@Kurikuri-Maroon） · ベストアンサー

機械Ａが１時間あたりにする仕事の量をＡとします。
すると、機械Ａ（６台）だけで耕すときにかかる時間は、次のように表せます。

Ａ × ６台 × ８時間 ‥‥ （１）

同じように、機械Ｂ（10台）だけで耕すときにかかる時間は、次のように‥‥。

Ｂ × 10台 × ６時間 ‥‥ （２）

土地の広さは同じですから、（１）と（２）は、次のような関係になりますね。

Ａ × ６ × ８ ＝ Ｂ × 10 × ６　⇒　Ａ × 48 ＝ Ｂ × 60
　⇒　式の両方の辺を12で割って　Ａ × ４ ＝ Ｂ × ５ ‥‥ （３）

（３）で、機械各々が１時間あたりにできる仕事の量の力関係がわかります。
　⇒　Ａ ： Ｂ ＝ １／４ ： １／５ ＝ ５ ： ４［← 分数の両辺に20を掛けて］

つまり、機械Ａ１台は、１時間あたりに「５」の仕事ができます。
同じように、機械Ｂ１台は、１時間あたりに「４」の仕事ができます。

１台で１時間あたり「５」の仕事ができる、という機械Ａを６台使いましたね。
このとき、８時間かかりました。
つまり、５ × ６台 × ８時間 ＝ 240 というのが、土地全部の耕しに必要な仕事量（土地の広さを表す数字、と考えてもＯＫ）です。
機械Ｂで置き換えても、４ × 10台 × ６時間 ＝ 240 ですから、合ってますよね。

さて。
機械Ａ５台は、８時間24分（８ ＋ 2/5 時間）を目いっぱい働ききりました。
５ × ５台 × （８ ＋ 2/5）＝ 210 の仕事をしたわけです。

全体で 240 の仕事をしなければならないので、あと 30 が足りません。
この 30 こそ、機械Ｂ３台がした仕事です。‥‥ （４）

機械Ｂ１台は、１時間あたり「４」の仕事ができます。
言い替えると、機械Ｂが３台あるなら、１時間で「12」の仕事ができますね。

このときに（４）を見ると、１時間あたり「12」の仕事を機械Ｂ３台に何時間かさせたら「30」になる、ということがわかります。
つまりは、30 を 12 で割れば良いのです。

30/12 時間＝ 5/2 時間 ＝ ２ ＋ 1/2 時間 ＝ ２時間30分 ‥‥ （５）

機械Ｂ３台を、最後の２時間30分だけ追加して使いましたよ、というのが（５）の意味です。
全部で８時間24分かかったので、８時間24分 － ２時間30分 ＝５時間54分。
つまり、機械Ａ５台を動かし始めてから５時間54分後に機械Ｂ３台を追加して、２時間30分だけ機械Ｂ３台も一緒に動かしました。

ということで、答えは「５時間54分」となります。

検算してみましょう。

・ １時間に「５」の仕事ができる機械Ａを５台、８ ＋ 2/5 時間 動かした
　⇒　５ × ５ × （８＋2/5）＝ 210 ‥‥ （ア）
・ １時間に「４」の仕事ができる機械Ｂを３台、２ ＋ 1/2 時間 動かした
　⇒　４ × ３ × （２＋1/2）＝ 30 ‥‥ （イ）
・ （ア）＋（イ）＝ 240 になれば良い ⇒ ＯＫ
・ ８ ＋ 2/5 時間 から ２ ＋ 1/2 時間 を引けば、機械Ｂをいつから動かしたのかわかる
　⇒ ８時間24分 － ２時間30分 ＝５時間54分 ⇒ ＯＫ

お礼

とてもよく分かりました。ありがとうございます。

回答No.4

asuncion

一部訂正します。
＞機械B1台でできる仕事は4だから、かかった時間は10÷4=2.5
機械B1台で1時間にできる仕事は4だから、かかった時間は10÷4=2.5

回答No.3

asuncion

機械A6台で8時間、機械B10台で6時間かかることから、
全体の仕事を6×8=48と10×6=60の最小公倍数である240と考える。
機械A1台の能力は1時間あたり240÷48=5, 機械B1台の能力は1時間あたり240÷60=4

機械A5台は8時間24分、つまり8.4時間ずっと使ったから、
機械A5台が行なった仕事は5×5×8.4=210
従って機械B3台が行なった仕事の合計は240-210=30
機械B1台が行なった仕事は30÷3=10
機械B1台でできる仕事は4だから、かかった時間は10÷4=2.5
よって、機械Bを投入したのは、8.4-2.5=5.9=5時間54分後

回答No.1

sknbsknb2

一応考え方だけ。
A(1台)の処理能力は1時間あたり1/48の土地を耕せる。
B(1台)の処理能力は1時間あたり1/60の土地を耕せる。
Aを5台使えば5/48の処理能力でB3台なら3/60。
8時間24分は、504/60分なので
5/48x504/60+3/60x(504/60-[Bを追加した時間(分)])=1となるはず。
方程式なら計算すれば終わりですが、小学生なら鶴亀算でやるしかないかなあ…