ミクロ経済学の問題です。

質問

ミクロ経済学の問題です。
よろしければご教授ください。

次の効用最大化問題を考えなさい。

MaxU(X,Y)
subject to PxX+PYY ≦I (1)
X,Yは、それぞれ財X,Yの消費量、Px,PYは、それぞれ財X,Yの価格、Iは所得であり、X ≧0,Y ≧0,Px>0,PY>0である。また、問題(1)には唯一の解が存在すると仮定する。
　Px,PY,Iが共にλ倍になるとき、財X,Yに対する需要量が変化しないことを証明しなさい。ただし、λ>0とする。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

MRS(X,Y)=Px/Py
PxX+PyY=I

が効用最大化の１階の条件だということは知らないのでしょうか？「限界代替率が価格比に等しい」というのはグラフ的には無差別曲線と予算線が互いに接するところで家計の最適消費が定まるというミクロの消費者行動の最も基本的原理の一つですよね！最初の式は
∂U/∂X/Px＝∂U/∂Y/Py
と書き換えることもできる。つまり、消費者は価格で測った限界効用がすべての財で等しくなるように予算（所得）を配分する、と言い換えてもよい。
いま、上の効用最大化条件において、Px,Py,IをλPx,λPy,λIで置き換えてみましょう。λは第一の式では分子分母にあるので相殺されるし、第２の式では両辺にある３つのλが相殺されるので、当初の最大化条件とまったく変わらないことがわかる。ということは、(Px,Py,I)のもとでの最適消費（X,Y)の値は（λPx,λPy,λI)の下でも変わらない、ということを表しているのだ！XとYの最適消費(つまり需要関数）をX(Px,Py,I)、Y(Px,Py,I)と書くと、需要関数のこの性質を需要関数のPx,Py,Iについてゼロ次同次性と呼ぶ。

お礼

理解できました！
一階条件は知っていましたが、ゼロ次同次性というのは知らなかったので、この証明をする意味もわからなかったです。
ありがとうございました！！

回答No.2

statecollege

この最大化問題の条件は
MRS(X,Y)=Px/Py
PxX+PyY=I
でしょう。前者の式の左辺は限界代替率で、MRS＝∂U/∂X/∂U/∂Yと定義され、無差別曲線の傾きを表しいる。後者の式は予算制約。この2本の式をXとYについて解けば、効用を最大化するXとYの消費量が得られる。この２つの式をながめてください、といったのです！！！

回答No.1

statecollege

予算制約下の効用最大化の1階の条件を書いて、ながめてごらん。すぐにわかるはずです。まず、それをしてもわからなかったら、追加質問をしてください。

お礼

ありがとうございます。
これはラグランジュ未定乗数法が成り立つことを証明すればいいのですか？

補足

もしかして単にこういうことですか？
Px, Py, I が共に λ 倍(λ>0)になるとき、
(1)の制約条件 Px X + Py Y ≦ I は同じ不等式だから
U(X,Y) を最大化する X, Y は変化しない。