有限要素法の手順とその原理に関する初歩的な質問

質問

有限要素法という数値計算の方法は、まず方程式(A=B)があって、それをA-B=0とし、任意の重み関数ωを乗じて方程式の成立する範囲で積分（∫ω(A-B)dA=0）し、さらにそれを部分積分し、面積分（領域全体の）と線積分（境界上の）とします（弱形式）。そして、領域全体を細かく分割した有限要素内部での未知変数（重み関数も）を内挿関数とそれらの節点値（三角形だったら基本３個とか）を使って内挿して表現し、求めた式に代入してωiでくくって代数方程式を作り、それを全体マトリックスとして組み上げて行列計算を行う、というものだと思います（ガラーキン法: 汎関数と変分法を使うリッツ法と等価になる？）。式を使わず言葉で長々と書きましたが。そういう風に理解しています。（間違っているかもしれませんが）。この一連の流れの中でどうしても１つ腑に落ちないところがあります。それは部分積分のところです。この部分積分は必須なのでしょうか。部分積分をすることによって境界積分が生じるので境界条件を課するのにちょうどいいからということなのでしょうか。部分積分をしないと先に進めないというところがやや理解しずらいのですが。よろしくお願いします。

回答No.3

ddtddtddt

#2です。

＞・・・奔放に理論をこねくり回すと３回微分を評価しないといけない現象もあるように思いますが。

　実用的問題として重調和方程式を扱わないといけいなんて事は、時々あります（添付図冒頭）。重調和方程式は4回の偏微分方程式なので、添付図中段左にあるような差分格子が必要と思えます。このような差分格子を任意形状の解析領域に規則正しく発生させるのは、なかなか難儀な時もあると思えます。
　一方有限要素法では、要素の形状が少々歪んでいてもアイソパラメトリック座標に移れば、正方形で計算できたりします。任意形状の領域分割が容易になり、内挿関数の基底関数と節点関数値f1～f8の関連付けの計算でだいぶ楽できます。ただし計算準備段階での計算量は有限要素法の方が圧倒的に多いです。また図にあげた8節点要素は、最下段にあげた弱形式をみればわかるように（右辺2項目）、少なくとも3次の内挿関数である必要があるので、高次要素は作りにくいという欠点が現れて不適合要素です。
　しかし弱形式の右辺1項目は結局フラックスの計算になっています（ガウスの発散定理による部分積分）。有限要素法でも要素境界でのフラックスの収支は連続性という形で考慮され、それが行に関する要素の重ね合わせ操作に化けます。もっともフラックスも要素節点に集約された形となり、有限体積法ほど厳密ではありませんが。
　有限体積法は、要素内部の状態をフラックスの収支で表すのが目的なので、有限要素法より簡単な内挿関数で済みますが（いわば一要素の中心に一節点）、高次要素が原理的に難しいという欠点はあると思います（有限要素法では、つくれない事はない）。

　以上のようにもうこうなると、個々人の趣味も含めて(^^;)、問題に応じてケースバイケースだと思います。最後に参考URLをあげます。実用的な観点から書かれていると思います。

　https://knowledge.autodesk.com/ja/support/cfd/learn-explore/caas/CloudHelp/cloudhelp/2018/JPN/SimCFD-Learning/files/GUID-12A9AED8-2047-4D3A-BC80-82BE9CF47517-htm.html