面積の最大値

質問

楕円　x^2/1^2 + y^2/6^2 = 1　外の１点Ａ(-2,0)から楕円と2点P,Q
で交わる直線y = m*(x + 2) 　　　を引く。
このとき、点B(1,0)を頂点とする△PBQの面積の最大値を求めよ。

回答No.3

staratras

楕円のままで考えると、どうしても微分を使って複雑な関数の増減を調べる必要が生じましたが、下の図のように円で考えると2次関数の最大値を求めることに帰着し、簡単になります。

問題の楕円をx軸方向に6倍して半径6の円で考える。点Aは(-12，0)、点Bは(6、0）に移る。直線の傾きをθとする。図はx軸に対称だからyの正の部分だけを考えればよい。

APまたはAQをxとすると、三角形APOまたは三角形AQOにおいて余弦定理から、
6^2=x^2+12^2-2・12・x・cosθ
x^2-24cosθx+108=0 これを解いて
x=12cosθ±6√(4(cosθ)^2-3)　この実数解条件より(cosθ)^2≧3/4　…（１）
したがって、AP=12cosθ-6√(4(cosθ)^2-3)
AQ=12cosθ+6√(4(cosθ)^2-3) ∴PQ=12√(4(cosθ)^2-3)

△PBQ=△QAB-△PAB=1/2QA・ABsinθ-1/2PA・ABsinθ
=1/2PQ・18・sinθ=9sinθ・12√(4(cosθ)^2-3)　
=108sinθ√(4(cosθ)^2-3)
=108sinθ√(1-4(sinθ)^2)
=108√(sinθ)^2-4(sinθ)^4　(sinθ)^2=t　とおくと（（１）よりt≦1/4…（２））
△PBQ=108√(-4t^2+t)=108√(-4(t^2-1/4ｔ))=108√(-4(t-1/8)^2+1/16)
したがって　ｔ=1/8　すなわちsinθ＝√2/4のとき　（これは（２）を満たす）
△PBQの面積は最大値27となる。
このとき　cosθ=√14/4　だからm=tanθ=1/√7

ここでx軸方向に1/6に縮めると、mは6倍の6/√7　
三角形PBQの面積の最大値は1/6の27/6=9/2

答え　ｍ＝±6/√7　のとき　三角形PBQの面積は最大値9/2

回答No.2

gamma1854

失礼しました。ミスを訂正します。
S=9*|m|*√(4-2m^2) /(6+m^2), (|m|<√2).
です。
偶関数ですから、m>0で考えます。
dS/dm=36*(6-7m^2)/{(6+m^2)^2*√(4-2m^2)}. より、
Sの最大値は(m<0)の場合も考えて、
S(±√(6/7))=(3/4)√6.
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ご自身で計算し、不明な点があれば返信してください。

回答No.1

gamma1854

どこまで解いてどこがわからないのですか？
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一応計算結果を記します。(計算ミス・タイプミスの可能性もあります)
S=(1/2)*PQ*h, (ただし hは 直線とＢとの距離) でありこれをｍの式で表現すると、
S=18*|m|*√(4-2m^2) /(6+m^2), (|m|<√2).
です。
偶関数ですから、m>0で考えます。
dS/dm=72*(6-7m^2)/{(6+m^2)^2*√(4-2m^2)}. より、
Sの最大値は(m<0)の場合も考えて、
S(±√(6/7))=(3/2)√6.