この三角形の面積を求める問題を教えてください。

質問

この三角形の面積を求める問題を教えてください。
問題は
円X＾２＋ｙ＾２＝１と点（－２、０）を通る直線との二つの交点をP,Qとする。B（１、０）として、
三角形BPQの面積の最大値を求めよ。
です。
僕はまずP,Qの座標を文字に置いて三角形BPQの面積を求め、微分しようとしたんですが計算量が膨大になってしまいました。
P,Qの座標をそれぞれ文字に置くのではなく、もっと何かいい方法があるのではないかと思いました。
何かヒントはありませんか？

回答No.6

OKXavier · ベストアンサー

計算ミスを誘発する問題ですね。

まず、ANo.3氏
解と係数の和のところがケアレスミス。p+q=-4m^2/(1+m^2)

単位円とｙ軸との交点をC(0,1)とおき、
直線ACとの交点で面積を考えると、P(-4/5,3/5),　Q(0,1),　B(1,0)　だから、
面積S=(1/2)3(1-3/5)=3/5=0.6
したがって、面積の最大値Smは少なくとも,　Sm≧0.6
なので、ANo.5氏の(√2)/8　も誤り。

ANo.4氏の最大面積1/4　も誤り。

そこで、１つずつ確認しましょう。

面積の式は、直線の傾きをm　とすると、
ANo.2氏の考えで、
S=(1/2)3{m(β+2)-m(α+2)}　　ただし、β>α
=(1/2)3m(β-α)

(β-α)^2
=(α+β)^2-4αβ
={-4m^2/(m^2+1)}^2-4{(4m^2-1)/(m^2+1)}
=4(1-3m^2)/(m^2+1)^2

β-α=2√(1-3m^2)/(m^2+1)

したがって、
S=(3m/2)2√(1-3m^2)/(m^2+1)
　=3m√(1-3m^2)/(m^2+1)

S^2=9m^2(1-3m^2)/(m^2+1)^2

m^2=u　とおけば、
S^2=9u(1-3u)/(u+1)^2

これで、極値を求めると、u=1/7
0<u<1/3　を満たしている。
したがって、
　　m=±1/(√7)

面積の最大値は、S_max=3/4

回答No.5

mister_moonlight

とんでもない計算ミスに気がついた、訂正しておく。

直線ＰＱを　y＝m(x+2)とすると、円X＾2＋ｙ＾2＝１に代入すると、(1+m＾2)x＾2＋4m＾2x＋(4m＾-1)＝0　‥‥(1)
これが2点で交わるから、判別式＞0　→　3m＾2＜1　‥‥(2)
(1)の2解をα、β　(β＞α)とすると、それは点ＰとＱのx座標を与える。
三角形BPQの面積をＳとすると　2Ｓ＝△ＡＱＢ-△ＡＰＢ＝m(β-α)　‥‥(3)であるから、β-αを求める。
(β-α)＾2＝(β＋α)＾2-4βα＝解と係数の関係を代入して＝(1-3m＾2)　/(1+m＾2)＾2‥‥(4)
以上から、2Ｓ＝m√(1-3m＾2)/(1+m＾2)＝√{√{(m＾2-3m＾4)/(1+m＾2)＾2}}となる。

(注)　対称性から　m＞0としてかまわない。

m＾2＝tとすると、(2)から　0≦t＜1/3　‥‥(5)　根号内は　(t-3t＾2)/(1+t)＾2だから、(t-3t＾2)/(1+t)＾2＝kとする　‥‥(6)
分母を払うと、tの2次方程式になるから　判別式≧0　→　k≦1/8　この時、(6)からt＝1/5　これは確かに(5)を満たす。

以上から、Ｓ≦√2/8　この時、m＝±√5/5。

回答No.4

noname#118938

二つの座標はP(cosΘ,sinΘ)　Q(cosα,sinα)　(0≦Θ,α≦π)とおける。

BP=(cosΘ-1,sinΘ)　BQ=(cosα-1,sinα)により
　三角形BPQの面積S=(BP×BG)/2= (sinΘ-sinα)/2 ←外積適用

さーて、D(-2,0)を用いてPQ=(cosα-cosΘ,sinα-sinΘ)とDP=(cosΘ＋2,sinΘ)は
平行であることに注意。つまり
　　　　　　　　　　　　　　sinΘ(cosα-cosΘ)=(cosΘ＋2)(sinα-sinΘ)
⇔sinΘcosα-cosΘsinα=2(sinα-sinΘ)
⇔(sin(α-Θ))/2=sinΘ-sinα　　　・・・・・・・(ア)
を満たすことに必着。
S=(sin(α-Θ))/4　　　(α-Θ)=π/2のとき、α=Θ＋π/2 → S=(sinΘ-sinα)/2
=(sinΘ-cosΘ)/2
=1/4　
ということはsin(Θ-π/4)=1/2√2
　　　　　⇔0<Θ-π/4<π/6
⇔π/4<Θ<π/4＋π/6
の範囲でΘが存在。　
アンドπ/4＋π/2<α<π/4＋π/6＋π/2<π
でαも存在。
よって0≦Θ,α≦πでS=1/4となるΘ,αは、きっちり存在したので(ア)を満たす
S=(sinΘ-sinα)/2 の最大値は1/4

But No3のようにはならない。どこか間違った可能性
あるかもしれないので再度自分も今から確認中。

回答No.3

info22_

円：x^2+y^2=1　…(1)
直線APQ：y=m(x+2)…(2)
P(p,m(p+2)),Q(q,m(q+2))(p<q)とおくと
p^2+m^2(p+2)^2=1,q^2+m^2(q+2)^2=1…(3)
p,qは(2)を(1)に代入して得られる2次方程式の異なる2つの解となるから
x^2+(m^2)(x+2)^2=1
(1+m^2)x^2+4(m^2)x+4(m^2)-1=0
判別式D/4=4m^4-(1+m^2)(4m^2-1)=1-3m^2>0 ∴|m|<1/√3 …(4)
2次方程式の解と係数の関係から
p+q=-2m^2/(1+m^2), pq=(4m^2-1)/(1+m^2)…(5)
B(1,0)から直線APQ:m(x+2)-y=0までの距離dは公式より
d=|m(1+2)-0|/√(m^2+1)=3|m|/√(1+m^2)…(6)
PQ=√{(p-q)^2+m^2(p-q)^2}=(q-p)√(1+m^2)
△BPQの面積S=(底辺PQ)*(高さd)/2=(3/2)|m|(q-p)
=(3/2)|m|√{(p+q)^2-4pq}
(5)を代入
S=(3/2)|m|√{4m^4/(1+m^2)^2-4(4m^2-1)/(1+m^2)}
=3|m|√{m^4-(4m^2-1)(1+m^2)}/(1+m^2)
=3|m|√(-3m^4-3m^2+1)/(1+m^2)
mの偶関数なのでm>0として考えると
dS/dm=-(3(3m^6+9m^4+7m^2-1))/((m^2+1)^2*√(1-3m^4-3m^2))
ｄS/dm=0とするmを求めると
m=√{(9+√73)^(1/3)-2}*√{(9+√73)^(1/3)-1}/{√3*(9+√73)^(1/6)}
≒0.35029484533778(<1/√3で(4)を満たす)
この時Sは最大値をとり, S≒0.71696918414055

m<0の領域も考慮すれば
m≒±0.35029484533778 の時 Sの最大値≒0.71696918414055
となる。

注)mの理論値を求めるのは簡単ではないですね。
数値計算でmを求めるなら別です。

回答No.2

mister_moonlight

いずれにしても、計算は簡単ではない。微分なんかいらないが。

直線ＰＱを　y＝m(x+2)とすると、円X＾2＋ｙ＾2＝１に代入すると、(1+m＾2)x＾2＋4m＾2x＋(4m＾-1)＝0　‥‥(1)
これが2点で交わるから、判別式＞0　→　3m＾2＜1　‥‥(2)
(1)の2解をα、β　(β＞α)とすると、それは点ＰとＱのx座標を与える。
三角形BPQの面積をＳとすると　2Ｓ＝△ＡＱＢ-△ＡＰＢ＝m(β-α)　‥‥(3)であるから、β-αを求める。
(β-α)＾2＝(β＋α)＾2-4βα＝解と係数の関係を代入して＝1-3m＾2　‥‥(4)
以上から、2Ｓ＝m√(1-3m＾2)＝√(m＾2-3m＾4)となる。
m＾2＝tとすると、(2)から　0≦t＜1/3　‥‥(5)　m＾2-3m＾4＝t-3t＾2＝-3(t-1/6)＾2＋1/12　‥‥(6)

つまり、(5)の範囲で(6)の最大値を求める事になる。tの2次関数の最大値くらいは求められるだろう。
続きは、自分でやって。

回答No.1

yespanyong

点(－2, 0)をAとすると、三角形BPQの面積は三角形ABPと三角形ABQの面積の差になります。

三角形ABPと三角形ABQについて考えると、点P,Qをどうとろうが底辺ABは共通で、しかも長さは3で固定なので、これらの三角形の面積は高さすなわちy座標の絶対値に比例することになります。

ということは、三角形BPQの面積が最大になるのは三角形ABPと三角形ABQの面積の差が最大になる場合、すなわち点Pのy座標と点Qのy座標の差が最大になる場合となります。

点Aを通る直線の式を例えばx＝ty－2とでもおいて円の式に代入すればtを変数として点PとQのy座標が出ますので、その差が最大となるときのtが求まればOKなのではないでしょうか。