解と係数の関係

質問

この問題は分かりません。解答の青色のところが分かりませんでした。
どうしてbが素数だからα＝1、β＝bとなるんですか？
どなたか説明お願いします。

回答No.3

KEIS050162

[1]で、
＞どうしてbが素数だからα＝1、β＝bとなるんですか？
ｂは二つの整数解の積で、かつ、素数。
素数は、自分自身と１以外の約数を持たない。
従って、二つの整数解の積は、”必ず、一方が１で、もう一方は素数自身（即ちｂ）”となる。

よって二つの整数解の和は、必ず、１＋ｂとなり、１＋ｂ＝１２からｂの値が決まる。

[2]も同様。
二つの整数解の積がａなので、和は１＋ａとなるが、
１＋ａ＝４ａとなり、ａが整数という条件に適合しないので除外。

回答No.2

178-tall

>解答の青色のところが分かりませんでした。　どうしてbが素数だからα＝1、β＝bとなるんですか？

[題意]
　3x^2 - 12ax + ab = 3(x^2 - 4ax + ab/3)
　= 3(x-α)(x-β) = 3{ x^2 - (α+β)x + α+β }
　　　　↓
　(α+β) = 4a,　αβ = ab/3　　… (1)
にて、右辺の a, b はともに「素数」。
ならば、a, b のすくなくとも一方が 3 で、どちらも「非零」。

くだくだと書いてみると…

{1] a = 3 (素数) のとき、
　　　　↓ (1) により
　(α+β) = 12,　αβ = b
b も素数ゆえ、α, β の一方が b、他方は 1 。

{2] b = 3 (素数) のとき、
　　　　↓ (1) により
　(α+β) = 4a,　αβ = a
　　　↓　　　　　　　↓
　　　↓　　a は素数、よってα, β の一方が 1、他方は a
　(1+a) = 4a → a = 1/3 となり矛盾。

以下、添付図。

回答No.1

pooh26

画像の解説の右側に書いてあるとおりです。