逆関数を求めたいのですが。

質問

次の関数方程式を、 ｙ ＝ ｆ(ｘ) の形に解いて下さいますでしょうか。
｛ｙ（ｙ＋１）｝/4 ＝ ｘ 。
つまり、
ｙ（ｙ＋１） ＝ ４ｘ 。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

y(y+1)=4x
y^2+y-4x=0
y= {-1±√ (1+16x) } / 2
つまり
y=f(x)=x(x+1)/4 (y≧ -1/16)
の逆関数は, 2価関数なのでxの範囲で分けて考える必要がある。
x≧-1/2の場合 逆関数は y= {-1+√ (1+16x) } / 2 (x≧-1/16),
x≦-1/2の場合 逆関数は y= -{1+√ (1+16x) } / 2 (x≧-1/16)
(なお, x<-1/16では逆関数は存在しない)

お礼

御回答を誠に有難う御座います。

補足

１．複素数の範囲では存在しない、と仰る訳は何でしょうか。

２．ｘ　の、－１/2 との大小関係で場合分けなさった訳は如何なるものでしょうか。

３．さらに、お尋ね致します。細かい式変形などは省きます。
２次方程式の解と係数の関係より、２次関数のグラフの頂点の座標は
（　（α＋β）/2, 　αβ　ー｛（α＋β）/2｝＾２　）
ですね？　関数ｆ
ｆ：　αβ　ー｛（α＋β）/2｝＾２　|→　（α＋β）/2
は、
ｆ：　４αβ　ー　（α＋β）＾２　｜→　α＋β
に等しいですね？
ここで、ｆ＝ｆ（αβ）＝　α＋β
と置いて宜しいのでしょうか。　宜しいのでしたら、
ｆ(αβ）＝　４αβ　－　｛ｆ(αβ）｝＾２
と書き直せますでしょうか。

回答No.2

info33

No.1 です。

補足コメントの質問に対する回答

１．複素数の範囲では存在しない、と仰る訳は何でしょうか。
>複素関数は多価関数ですから逆関数が存在しない(定義できない)。

２．ｘ　の、－１/2 との大小関係で場合分けなさった訳は如何なるものでしょうか。
>逆関数は一価関数でしか定義できません。なので, 一価関数となるように関数を分割して,分割された関数ごとに, 逆関数を定義すれば, 求めることができる,,
場合分けしない元の関数のままでは, 2価関数なので, 逆関数が定義できず, 逆関数が存在しないことになります。
対称軸x= -1/2で関数を分割して,分割された関数ごとに, 場合分けすれば, それぞれの範囲では逆関数が求められる。そのための場合分けです。

３．さらに、お尋ね致します。細かい式変形などは省きます。
２次方程式の解と係数の関係より、２次関数のグラフの頂点の座標は
（　（α＋β）/2, 　αβ　ー｛（α＋β）/2｝＾２　）
ですね？　関数ｆ
ｆ：　αβ　ー｛（α＋β）/2｝＾２　|→　（α＋β）/2
は、
ｆ：　４αβ　ー　（α＋β）＾２　｜→　α＋β
に等しいですね？

>等しくない。

ここで、ｆ＝ｆ（αβ）＝　α＋β
と置いて宜しいのでしょうか。　宜しいのでしたら、

>等式の意味が理解できない。なのでダメとしか言いようがない。

ｆ(αβ）＝　４αβ　－　｛ｆ(αβ）｝＾２
と書き直せますでしょうか。

>ｆ(αβ）の意味から理解不能。なので判断不能。
> なのでα,βによる持論展開は, 逆関数を求める問題にとっては, 無意味です。

お礼

またまた御回答を有難う御座います。