３次方程式の逆関数の求め方

質問

現在、逆関数について学んでおります。
２次方程式までの逆関数は、定義域と値域に注意して、ｘとｙを入れ替えるというのが基本でしたが、３次関数になるとどのように求めていけばよいのでしょうか？
おおむねのグラフの概形は、ｙ＝ｘと対象なので分かるのですが、どのような関数の式になるのかが分かりません。
具体的には、y=x^3+x^2-2x　という関数です。ネットを検索してみたのですが、あまり情報が少ないので、よろしくお願いいたします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

＃１です。

＞＞早速自分なりに解いてみました。

すごいですね！
私も解いた事はありますが、ＴＥＸＴを追うだけで精一杯でした。
殆んど記憶がありません。
たしか２次の項を消去したような・・・
立方根ωが現れるはずですが。
Ｘ＾３＋Ｙ＾３＋Ｚ＾３－３ＸＹＺ
＝（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）（Ｘ＋ωＹ＋(ω^2)Ｚ）（Ｘ＋(ω^2)Ｙ＋ωＺ）
を使用した解法もあるようです。
岡潔氏が，
＜解法を忘れたので解きだしたら３日で出来た。＞
との逸話が御座います。

場合わけについては、試験でなければ、あまり厳密にやらなくて出来そうな気がします。
＜元のf(x)の関数がｙ＝０の時のｘの値＞ではありません。
グラフをかくと、増減が変化するのは下記のＡ、Ｂの時です。
Ｙ＝Ｘ＾３＋Ｘ＾２－２Ｘ
Ｙ’＝３（Ｘ＾２）＋２Ｘー２＝０
の解をＡ，Ｂとして
Ａ，Ｂを境界に＜３区間＞にわける事にはなりますが、
３（Ｘ＾２）＋２Ｘー２は因数分解できないので、
Ａ、Ｂのままで形式的に解くような気がします。

＞＞これをどのように使うのでしょうか
方程式なら、Ｙは現れませんが逆関数だと。
Ｘ＾３＋Ｘ＾２－２ＸーＹ＝０
となりますの、Ｙがどのように影響してくるかは判りません。
理論的には解ける、とだけ書けません。
申しわけありません。

お礼

いろいろ自分でやってみると、できました。
人間頑張るとできるんですね。ありがとうございました。

回答No.1

kkkk2222

y=x^3+x^2-2x 単調増加ではないので、逆関数を求めるにしても、場合わけが必要です。
３次関数の逆関数を求めるためには。
３次方程式を解く必要があります。
＜カルダノ＞＜３次方程式＞で検索してみて下さい。
結構、出てくるはずです。

y=(x-1)^3 のような特殊なのは解けますが。

お礼

ご解答ありがとうございます。
３次方程式の解法をネットで調べて、早速自分なりに解いてみました。
これをどのように使うのでしょうか。
場合わけをするのは、元のf(x)の関数がｙ＝０の時のｘの値で分けて考えてみるということですよね？と、いうことは、この場合４区切りに分けて考えてみルということでよろしいのでしょうか。