関数 方程式 について

質問

前回関数について質問させて頂きました。
前回の質問：http://okwave.jp/qa/q7693762.html

関数については、ご回答のおかげで理解する事が
できました。ありがとうございました。

今回、方程式について質問させて頂きます。

y-x^2=0は方程式ですが、関数とは言わないと思います。
y=x^2は関数ですが、これは方程式と言って良いのでしょうか？
y=x^2を方程式としているものを見たことが無いのでダメだと認識しています。
y=x^2を方程式と言わない理由を教えて下さい。

方程式には厳密な定義があるのでしょうか？

言葉が正しいかわかりませんが（ニュアンスは伝わると思います）、
陽関数表現されていなければ関数と言わないのでしょうか？
陰関数表現されていなければ方程式と言わないのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがいろいろ調べてもわからなかったので
ご回答何卒よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

<引用>
定数関数は、方程式とは言えないのでしょうか？
y-1=0は方程式です。y-1=0からy=1は導かれますが、y=1を方程式
と言っても良いのですか？
先の例で言えば、y-x^2=0は方程式だし、y=x^2も方程式。
だとすると、y=1だって方程式と言えると思うのですが、
どうも方程式の解で目にするため方程式と言うのに抵抗感じます。
</引用>

定数関数ってのは，何を与えても同じ値を返す関数のことで
これは自体は「方程式ではない」です．
繰り返しますが「関数」というのは対応そのものを指すのであって
方程式はそれの表記の手段です．

したがって，例えば，常に1を返す定数関数を
y=1という方程式で表すということです．

「りんご」という言葉はりんごを表現しますが
りんごそのものではないでしょう？

なお，もう書いてますが，y=1だって立派な方程式です．
この方程式は，定数関数を表しますし，
座標平面ではx軸に平行な直線を表すのです．
しかし，直線は方程式ではないでしょう．
「直線を方程式で表す」のです．
関数だって同じこと．

お礼

いつもご回答ありがとうございます。

＞定数関数ってのは，何を与えても同じ値を返す関数のことで
＞これは自体は「方程式ではない」です．
＞繰り返しますが「関数」というのは対応そのものを指すのであって
＞方程式はそれの表記の手段です．
理解できました。もやもやが晴れました。

y=1も立派な方程式ですね。理解できました。

ご回答本当にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

kabaokaba

なんというか・・・

>y=x^2を方程式としているものを見たことが無いのでダメだと認識しています。
>y=x^2を方程式と言わない理由を教えて下さい。

いつも表面しかみてないからなんでしょうね

y=x^2は立派な方程式です．
ただ，ものごとには意味があるわけで，
「y=x^2というのを，xを与えたらx^2を計算して，そのx^2をyと表して
xに対してyが対応していると考える」という見方をした場合
「y=x^2は関数」という表現になるのでしょう

だから，ある程度のレベルになると
y=x^2で関数を表すとかいうのはそれなりに避けられます．

たとえば，f(x)=x^2とおいたときに，
「関数y=x^2」とか言う代わりに，もっとシンプルに「関数f」という言い方をするのです．
y=x^2と書いてしまった場合，たしかにxにx^2を対応つけるという風にみえるのですが，
逆に言えば，xという何かの値が固定されてしまうというふうにも見える
（要は方程式のように値が期待されるようにみえる）．
しかし，関数（写像）というのは，値そのものではなく，
その対応関係そのものをいうわけだから，
「f(x)という値」ではなく「f」が関数そのものだという考えです．

卑近な例だと，「自動販売機」．
お金を入れるとジュースがでてくるわけです
お金がx，ジュースがy，自動販売機が「関数」に相当します．
お金やジュースは自動販売機ではありません．
xやyは関数ではありません．
あくまでもお金を入れるとジュースがでてくる「機構」が自動販売機であり
xを与えるとyがでてくる「機構」が関数です．

数学に戻れば
関数を表現するのに「方程式」が使われるという感じです．
もちろん方程式を使わない（使えない）関数もありえます．
ディリクレなんかはそうでしょう？

こんな風に書くと「関数は方程式の上位概念であり
方程式はすべて関数」とか誤解されそうだけど
そういうわけではないことに注意．方程式だけど，そのままでは
関数（いわゆる「一価関数」）ではないというものだってあるわけです

お礼

申し訳ありませんが、やはりわからないのでご回答頂けないでしょうか？
お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

非常に丁寧な説明で理解できました。

＞関数（写像）というのは，値そのものではなく，
＞その対応関係そのものをいうわけだから，
＞「f(x)という値」ではなく「f」が関数そのものだという考えです．
理解していたつもりだったのですが、考えているうちに完全に式の
表面しか見えておらずと言う状況でした。ありがとうございます。

定数関数について、定数関数は関数（一価関数）なのかという
疑問も解決しました。
ご説明頂いた内容から、定数関数は関数（一価関数）と言えます。

＞方程式だけど，そのままでは
＞関数（いわゆる「一価関数」）ではないというものだってあるわけです
例えば、y^2-x=0は方程式だが、この方程式から得られるy^2=xについて
「yはxの関数ではない」ということですね。しかし、「xはyの関数は成り立つ」
と理解しています。

申し訳ありませんが、一点だけ疑問な点を質問させて下さい。
定数関数は、方程式とは言えないのでしょうか？
y-1=0は方程式です。y-1=0からy=1は導かれますが、y=1を方程式
と言っても良いのですか？
先の例で言えば、y-x^2=0は方程式だし、y=x^2も方程式。
だとすると、y=1だって方程式と言えると思うのですが、
どうも方程式の解で目にするため方程式と言うのに抵抗感じます。

お手数をお掛けして本当に申し訳ないですが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

info22_

>y-x^2=0は方程式ですが、関数とは言わないと思います。
その通り。

>y=x^2は関数ですが、これは方程式と言って良いのでしょうか？
方程式とも言えます。

>y=x^2を方程式としているものを見たことが無いのでダメだと認識しています。
>y=x^2を方程式と言わない理由を教えて下さい。
方程式なので、質問はナンセンス。

>方程式には厳密な定義があるのでしょうか？
変数を含む（定数を含む）等式を方程式と言います。
、
>陽関数表現されていなければ関数と言わないのでしょうか？
そうだと思う。

>陰関数表現されていなければ方程式と言わないのでしょうか？
間違い。陰関数表現の等式も立派な方程式です。

お礼

すいません。

別のQAサイトですが、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1438876024?fr=rcmd_chie_detail

同様の内容がありました。

そちらでは、
y=x^2は関数とは言っても、方程式とは言わないと言う見解が多数でした。
やはり、y=x^2は方程式と言わない方が無難なんでしょうか？

関数と方程式では、条件として方程式の方が緩いと考えます
（曖昧な表現ですいません）。

例えば、
y^2-x=0は2次方程式で、y^2=x⇒y=±√xは関数（一価関数という意味）
とは言いません。

y-x^2=0は2次方程式で、y=x^2は関数です。特に2次関数と言います。

このように、方程式の中に現れる、yとxの一対一の対応関係を関数と
言うと考えます。

なので、関数は方程式の中に現れるものだから、y=x^2は方程式と言って
差し支えないと考えました。

以上の考えは間違いでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますが何卒ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

x=1なども方程式と言って良いのでしょうか？
定数関数のイメージが強くて方程式と言うのに抵抗があります。

＞陰関数表現の等式も立派な方程式です。
これは、陽関数表現の等式も立派な方程式と言うことですか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。