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逆関数についてなど・・・
y=f(x)はy=g(x)はお互いに逆関数であるとします。そうするとf(g(a))=aと書いてありましたどうしてでしょうか。logと指数で実際に確かめてみたところ成り立ちはしましたが、理由がいまいちわかりません。 またすべての関数でg(f(c))=cも成り立ちますよね。 証明とかではなく日本語的な説明とかで教えてください。逆関数とはxとyを入れ替えたものなのでわかった起臥したりもしますが、明確にはわかりません。 よろしくお願いします。
- dandy_lion
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逆関数とはxとyを入れ替えたものなのでわかった起臥したりもしますが、明確にはわかりません。 それなら、関数y = f(x)について、x = aのとき y = f(a) その逆関数 y = g(x)について、 x = f(a)のとき、y = a となる事は分かりますよね？ そうすれば、g(f(a))= aになるじゃないですか？ 逆に、y = g(x)について、x = aのとき y = g(a) y = f(x)については、x = g(a)のとき、y = aに なります。すると、a = f(g(a))になるのは分かりますね。 落ち着いて考えて見てください。
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>すべての関数でg(f(c))=cも成り立ちますよね。 厳密にいうと、関数 Y=f(X) の逆関数 X=g(Y) が定義できるのは、 X1 とX2 とが異なるとき、f(X1) と f(X2) も異なる場合 なのです。 この要請は、関数の定義に由来します。 Y=f(X) にてある X を与えたとき、Y が一意的に決まる という要請です。 はじめの条件を満足していないと、逆関数 X=g(Y) にて Y が与えられたとき、該当する X が複数個あり得ますから、 逆の「関数」としては通用しなくなるからです。 このような条件を満足しておれば、心して「関数」として取り扱え、g(f(c))=c が成り立ちます。
- F_P_E
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はじめまして。 言葉でがんばって説明してみます。 関数というのは、要は、f(x)という関数があったとき、xという数が関数fを介してf(x)に写ったということです。つまり、 x → f(x) 同様に関数g(y)があったとすれば、 y → g(y) さて、f(x)とg(x)は逆関数の関係にあるのだから、y=f(x)としてしまえば、 x → f(x) = y → g(y)=g(f(x)) これから、最初の矢印と最後の矢印は全く正反対の操作をしているので（関数f,gは逆関数の関係にあるから）、xと終着点のg(f(x))は同じであるはずです。だから x = g(f(x)) が成り立ちます。 少し分かりにくいかもしれません。文句があったら遠慮なくどうぞ＾＾
- mcurry
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x,y平面にグラフを書くとすれば、x,yを使って、関数を表すのだと思いますが。別に、x,yじゃなくても、ちがう文字つかってもいいですよね。m=f(n),u=g(t) でも。 日本語的な？説明すると 逆関数っていうのは、 (1)100円いれると ジュースが出る、自動販売機ｆ ジュース＝f(100円) (2)ジュース入れると、100円が出る。逆自動販売機g 100円＝g(ジュース） よって 100円＝g(ジュース）＝g(f(100円）） ほら、こんなかんじでＯＫですか？
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補足
みなさまありがとうございました。具体例なども参考になり面白かったです。しかし理解はできますが、いまいちピンときません。半暗記事項だと思うべきなのでしょうか。 no2さんこれは写像(?)的な考え方でしょうか。また写像(?)は行列の1時変換を勉強する上で高校生でも勉強したほうがいいのでしょうか。