微分方程式の記号解法

質問

d/(dx) をDとおく記号解法をやっています。

y = 1/D・f(x)=∫f(x)・dx となることは分かったのですが

(D-α)y = f(x) のときのy の出し方がいまいち分かりません。

教科書をみてるのですが、途中の式などがわかりません。

どうやら、↓の式をつかうようでこの式の解き方は分かるのですが。なぜこの式を使うかがいまいちわかりません。
D(epx(-αx)・y) = -α・exp(-αx)y + exp(-αx)・Dy
この式を解くと
y=exp(αx)・∫exp(-αx)・f(x)・dx がでるのも分かります

ただ、説明段階で
(D-α)y = f(x)から
D(epx(-αx)・y) = -α・exp(-αx)y + exp(-αx)・Dy
へ飛ぶことが分かりません。

よろしこねがいします。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

記号解法は、演算子Dの線形性を利用したい、という考えが根底にあります。

(D-α)y = f(x)
となるような、yを、どんな手段でもいいから、一つ見つけてきさえされば、
あとは、線形性を使って、なんとでもできるというわけです。

なんで、
D(epx(-αx)・y) = -α・exp(-αx)y + exp(-αx)・Dy
という式が突然出てきたのは、
この式を、たまたま、使ってみたら、
(D-α)y = f(x)
をみたすyがみつかってしまった、ぐらいに思っておけばいいのでは。

ここを、しっかり説明してある教科書も、もしかしたらあるかもしれませんが、
その話自体は、記号解法（線形性を利用した計算）の本筋からはかなりはずれた話題です。

お礼

ありがとうございます。
Dの意味がわかりました。

回答No.1

yaksa

記号解法は、演算子Dの線形性を利用したい、という考えが根底にあります。

(D-α)y = f(x)
となるような、yを、どんな手段でもいいから、一つ見つけてきさえされば、
あとは、線形性を使って、なんとでもできるというわけです。

なんで、
D(epx(-αx)・y) = -α・exp(-αx)y + exp(-αx)・Dy
という式が突然出てきたのは、
この式を、たまたま、使ってみたら、
(D-α)y = f(x)
をみたすyがみつかってしまった、ぐらいに思っておけばいいのでは。

ここを、しっかり説明してある教科書も、もしかしたらあるかもしれませんが、
その話自体は、記号解法（線形性を利用した計算）の本筋からはかなりはずれた話題です。