平方根についてです。

質問

先日、何気ない問題の中で平方根を利用し、解いていた際、√(25x^2)=10という方程式と解くことになりました。両辺を二乗して解くと、x=±2と落ち着くのですが、ルートの中を(5x)^2と解釈し、ルートの外に出すと、x=2と出てしまいます。これは、正しくは(±5x)^2が25x^2であるから答えにズレができるなどすれば、納得できます。
では、仮に√36を考えるとどうなのでしょうか？
私はこれまで、なんの違和感もなく6、としていたのですが、これも√{(±6)^2}と解釈して、√36=±6と解くのが正しいのでしょうか。なんだか今までの計算をすべて否定された気分です。真相はどうなのでしょうか。数学に詳しい方、どなたか教えてください...！
また、この議題が高校レベルの数学で解決することかも加えて教えて頂けると嬉しいです。

回答No.5

yougamaster · ベストアンサー

結論から言いますと、√A^2= |A|=±Aです。
√(~)^2は要注意ということです。
√~は必ずプラスになるという事を常に意識していると間違わなくなります。

このことから
√36=±6は明らかに間違いです。
いうまでもなく
√36=+6になります。
仮に√(-6)^2の場合でも
√(-6)^2=+6になります。
丁寧に式にすると
√(-6)^2=|-6|=+6です。

順番は前後しましたが、√(25x^2)=10については、式の両辺を2乗すれば単純にルートがはずれて
25x^2=100となり整理すると
x^2=4
ですからxは±となり
x=±2になります。

「正しくは(±5x)^2が25x^2であるから答えにズレができるなどすれば、納得できます　」という理由は少しちがうかもしれません。

「ルートの中を(5x)^2と解釈し、ルートの外に出す」　ならば
√(5x)^2=|5x|として
|5x|=10
両辺2乗して
絶対値をはずしx=±2を求めることになります。

お礼

本当にありがとうございます。
皆さまの説明、とても分かりやすかったのですが、最も丁寧かつ分かりやすかったNo.5さんをベストアンサーとさせて頂きます。

回答No.6

yougamaster

no5の回答を訂正いたします。
「結論から言いますと、√A^2= |A|=±Aです。」
の文中「=±A」は誤りですので削除いたします。
正しくは
√A^2= |A|です。
申し訳ありません。

回答No.4

f272

あなたが混乱しているのは√(x^2)=xだと思っているからです。
実際は√(x^2)=|x|であって，x≧0のときは=xで，x≦0のときは=-xです。
従って
√(25x^2)=|5x|=10を解いてx=2または-2
√36=|6|=6

回答No.3

asuncion

＞√36=-6は虚数の世界になってしまう
ダウト。ルートの中が負になっているわけではない。
質問者さんへ：
36の平方根、と日本語で問われたら±6。
そのうち、正の方を√36 と書き、値は6。
もう一方の方を-√36 と書き、値は-6。それだけのことです。

回答No.2

中京区 桑原町（@l4330）

6はルートの中に入ろうと外であろうと「+6」です-6になることは無い
一方で「x」は-でも+でもどんな数値でもあり得ます
だから答えが±2になるのです

回答No.1

black2005

仮に36を±6^2に置き換えたとしても√36となり、√36=6=＋6でしょ？
√36=-6は虚数の世界になってしまう