平方根と因数分解が苦手なのは、どこでつまずいたのか

質問

姉の子がこのたび受けた中３の２学期中間テストでは、数学の範囲は２次方程式の平方根と因数分解でした。

(x+a)(x+b) = x^+(a+b)x+ab
(a+b)^ = a^+2ab+b^
(a-b)^ = a^-2ab+b^
(a+b)(a-b) = a^-b^
この式を利用して解いていくことすらわからないので、結果３８点でした。
いったい、中１と中２のどの項目が２次方程式の平方根と因数分解に関連しているのでしょうか。たぶんその関連した項目からつまずいていると思われます。
そこからさかのぼって勉強させたいと思っています。
教えてください。

回答No.1

ShowMeHow · ベストアンサー

算数が代数になった（数字をXとかYに置き換えて考えるようになった）あたりかな？

お礼

皆様ご丁寧にありがとうございました。
パソコンが具合が悪くなってしまいまとめてのお礼にすみません。
代数から復習させます。
とてもよい問題集があるので。

回答No.4

mnakauye

こんばんは。

　平方根と因数分解が理解できていないならば、因数分解について回答No3のORUKA1951さんも

　書いておられるように、

　　そもそもの平方根とは何か、どこから出てくるのか。

　　因数分解の公式や展開公式はどこから出てくるのか。

　を理解させればすむことです。

　あなたも「たぶんその関連した項目からつまずいていると思われます。」と書いておられますが、

　わかっていないことに関連したことからやるべきで、教科書をどこかからやり直すというのは

　　よい方法ではありませんし、おねえさんの子供さんにとって遠回りです。

　まずそもそも平方根というのはどこから何の必要があって出てくるのかは、簡単な絵を書いて

　説明してあげればわかることです。

　　また因数分解の公式も、展開公式も、図を書いて説明してあげれば、理解はできることです。

　そこでわかっていないことが出てくればそのことに限定して教えるべきで、教えている人の多くが

　そこを間違ってしまうので、わからせてあげることができないのです。

　教科書をまとめて復習するなどということは、学期中にやるべきことではありません。目の前の問題を

　内容を理解でぃて解けるようにすることが、学力回復の重要なポイントです。

　平方根の必要性とその意味について、例を挙げましょう。

　　一辺７の正方形ABCDを書きます。格子点のあるノートを使うのが良いでしょう。

　　4つの辺、AB、BC、CD、DAをそれぞれ、３：４に分ける点をE,F,G,Hとします。

　　　正方形EFGHの面積はいくらですか？（正方形の面積から4つの三角形の面積を引き算して出します）

　　　では　正方形EFGHの一辺はいくらですか。

　　　これは簡単に５とわかりますね。

　　　つぎに分ける比を２：５にして見ます。新しくもう一度同じ正方形の絵を別に描いてくださいよ。

　　　同じように正方形EFGHの面積はいくらかを計算させます。

　　　一辺はどのくらいだろうかを考えます。

　　　　　これは　ａ×ａ＝２９　となる数を見つけることですが、

　　　　　計算では近似値を見つけることは暇がかかりますが、

　　　　　格子点のノートに書いた絵からは、およそどのくらいという推察ができます。

　　　　　こうして、二乗すると２９になる数は、近似値でも計算では見つけるのは難しいけれど

　　　　　５と６の間に存在することがわかり、計算で求めるのはあくまで近似値であるのすが、

　　　　　√（２９）　とかくことにする。

　　　　というのが、無理数の意味と導入です。

　　　　ちなみに　さらに　辺を１：６にして絵を描いて求めることをやらして見ます。

　　　　また、もとの正方形ＡＢＣＤの辺を２にして、同じことをしたら1通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３にして、同じことをしたら2通り　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４にして、同じことをしたら2通り

　　　　　　　　・・・・・・・　　　　１０にしたら・・・・・・5通り

　　　　とやっていったら、子供さんはいろいろなことに気が付くと思います。

　　　　後に習うピタゴラスの定理も自然と頭に入るでしょう。

　　数学の復習は、指導者が絵を使って、しっかり概念をイメージ付けしてください。

まちがっても、わけのわからないまま公式練習みたいなことをさせないことです。

回答No.3

ORUKA1951

まず普通の数字で計算するところを見直して見ましょう。
23×12ということは、(20+3)×(10+2)と言う意味でしたね。
これを筆算するときは
　　 　　2(×10)　+　3(×1)
×　 　　1(×10)　+　2(×1)
-----------------------
　　 　　4(×10)　+　6(×1)
2×10² + 3(×10)
------------------------
2×100 + 7(×10)　+　6(×1)
と計算していましたね。　　　　小学校のここをしっかり復習しておくこと!!

(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
これは
　　(x + a)
×　(x + b)
----------------
　　 bx + ab
x² + ax
-----------------
x² + (a+b)x + ab

以下同様に筆算してみましょう。

＞この式を利用して解いていくことすらわからないので、結果３８点でした。
　それは違うと思います。
＞数学の範囲は２次方程式の平方根と因数分解
　ではなくて『2次方程式(因数分解)』だと思われます。
　すなわち、
「x² + 3x - 10 = 0 のときのxの値を求めなさい。」
　二次方程式？？？これって中学三年生の範囲ですが・・・

回答No.2

spring135

質問に間違いが散見されます。

＞(x+a)(x+b) = x^+(a+b)x+ab
(a+b)^ = a^+2ab+b^
(a-b)^ = a^-2ab+b^
(a+b)(a-b) = a^-b^

全部間違いです。正しくは

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2

>いったい、中１と中２のどの項目が２次方程式の平方根と因数分解に関連しているのでしょうか。

「2次方程式の平方根」なんて言葉はありません。正しくは2次方程式の解、又は根といいます。

2次方程式

ax^2+bx+c=0

の解の公式

x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

もしっかりと覚えさせてください。これを使って

x^2-(a+b)x+ab

の因数分解ができることも教えてください。

因数分解なんてゲームです。ゲームとして楽しめるように工夫してやってください。