この数式を因数分解してください

質問

1.(a^2-1)(b^2-1)-4ab
2.(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
この数式（2つは別物で関連性はありません）がどうしても因数分解できません。解法の方法を教えてください。
また、このような複雑な数式を因数分解する際のコツがあったら教えてください。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

f(x,y,z)＝(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
とおくと，まずxのみを変数とみて
f(-y,y,z)＝0　より，因数定理から　(x+y)で割り切れる．
同様にしてx,y,zに関する対称性より(y+z),(z＋x)でも割り切れることが示せる．

与式はx,y,zの３次の同次対称式なので，結局
f(x,y,z)＝(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3＝k(x+y)(y+z)(z+x)　　[kは定数]
と表せて，これは恒等式なので，特にx=y=z=1とおけば
24＝8k　より　k＝3

したがって
f(x,y,z)＝3(x+y)(y+z)(z+x)
他にも，x^2yの項の係数を比較するなどしてk＝３でもOK

回答No.3

ryn

私も自分で解くときは keku さんのようにやると思いますが、
慣れてなくて見通しが立ちにくいのであれば、

１．共通因数をくくりだす。
２．ある文字について整理する。
３．たすきがけ等を使う。

というように進めていくのがよいのではないかと思います。

具体的には一番目の例だと
まず展開して
(a^2 - 1)(b^2 - 1) - 4ab
= (ab)^2 - a^2 - b^2 + 1 - 4ab

つぎに、共通因数はないので a について整理して
= (b^2 - 1)a^2 - (4b)a - (b^2 - 1)
= (b+1)(b-1)a^2 - (4b)a - (b+1)(b-1)

あたりまでくればたすきがけでいけそうですね。

回答No.1

keku

１番はとりあえず展開します
(a^2-1)(b^2-1)-4ab
=a^2b^2-a^2-b^2+1-4ab
=(ab)^2-2ab+1-(a^2+b^2+2ab)
=(ab-1)^2-(a+b)^2
=(ab+a+b+1)(ab-a-b+1)

途中で4abを2abずつに分けることが重要ですね

２番は前二つと後ろ二つでまとめれば
（ｙ+ｚ）を因数にできると思いますが

コツは最終形をイメージすることですね