X=x^2と置かないで↓の問題を素直にお願いします

質問

x^4+2*a*x^2-a+2=0が実数解をもたないようなａの範囲を求めて下さい。

回答No.3

staratras

X=x^2と置かないで問題を素直に解いてみます。
x^4+2ax^2-a+2=0　…（１）

a(2x^2-1)=-x^4-2 ここで2x^2-1=0 を満たすx=±√2/2は（１）を満たさないので、x≠±√2/2　としてa=(-x^4-2)/(2x^2-1)

f(x)=(-x^4-2)/(2x^2-1) の取り得る範囲を考える
f'(x)=4x(-x^4+x^2+2)/(2x^2-1)^2 であり、-x^4+x^2+2=0を満たすのはx=±√2だから、f(x)の増減及びグラフの概形は下の図の通り。

したがってf(x)≦-2 またはf(x)≧2　だから
（１）が実数解を持たない実定数aの範囲は　-2＜a＜2

回答No.2

yougamaster

微分して、増減を調べてください。
４次曲線なのでこの関数のグラフはW字型かU字型になります。
極小、極大、極小の形（ｗ型）、または極小１個のみ（Ｕ型）の形なので
極小値が０より大きくなるaのはんいを求めれば答えとなります。

f(x)=x^4 +2ax^2 - a+2とおくと、
f'(x)=4x^3+4ax=4x(x^2+a)

a<0の場合
f'(x)=0 となるのは x=0, ±√(-a)
x< -√(-a)でf'(x)<0 (単調減少), x= -√(-a)でf'(x)=0 (極小),
　-√(-a)<x<0でf'(x)>0 (単調増加), x=0でf'(x)=0 (極大),
　0<x<√(-a)でf'(x)<0 (単調減少), x=√(-a)でf'(x)=0 (極小),
　√(-a)<xでf'(x)>0 (単調増加)
x=±√(-a)で極小かつ最小　最小値はx=±√(-a)いずれのときも　 -a^2 -a+2
　(a<0だから　x^2=+aではなくて　x^2=-aとなることに注意）

a≧0の場合
f'(x)=0 となるのは x=0
x<0でf'(x)<0 (単調減少),x=0でf'(x)=0, x>0でf'(x)>0 (単調増加)
x=0で極小かつ最小　最小値 f(0) = -a+2

x^4+2*a*x^2-a+2=0が実数解をもたないのは最小値>０の場合なので
a<0のとき　
-a^2-a+2=-(a+2)(a-1)>0 を満たすのは-2<a<1
よって-2<a<0

a≧0のとき　
-a+2>0　を満たすのはa<2
よって0≦a<2

以上から
-2<a<2

回答No.1

178-tall

「X=x^2と置かないで」も、実質的にそう置いた勘定になってしまう？

>x^4+2*a*x^2-a+2
　= (x^2+a)^2 - (a^2+a-2)
　= (x^2+a)^2 - (a+2)(a-1)
　= … …