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三人姉妹が 唾をつける 泣く姉妹が居ない よう
info222_の回答
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y=f(x)= -x^4 + 2*x^2 ... (1) y=k ... (2) f(x) の極大値f(1)=f(-1)=1, f(x) の極小値 f(0)=0 なので >y=-x^4 + 2*x^2 と y=k で囲まれる部分が3つ在り, 0<k<1 ( 必要条件 ) ... (3) (3)のもとで(1),(2)の 4個の交点 (-b,k), (-a,k), (a,k), (b,k) を求める 。 0<a<1<b<sqrt(2) ...(4) -x^4+2x^2=k x^4 -2x^2+k=0 x^2=1±sqrt(1-k). x= -sqrt(1+sqrt(1-k)), -sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1-sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1+sqrt(1-k)) 0<a<1<b<sqrt(2) a=sqrt(1-sqrt(1-sqrt(1-k)), b=sqrt(1+sqrt(1-k)) >y=-x^4 + 2*x^2 と y=k で囲まれる部分が3つ在り,それらの面積が等しくなる y軸対称ゆえ, 左側(-b<=x<= -a) と右側 ( a<=x<=b) の部分の面積は, 等しく S1=∫ [-b, -a] (-x^4+2x^2 -k) dx=∫ [a, b] (-x^4+2x^2 -k) dx =[-x^5/5+2x^3/3 -kx] [sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1+sqrt(1-k))] = -(4*(3sqrt(1+sqrt(1-k))*k-3sqrt(1-sqrt(1-k))*k-sqrt(1+sqrt(1-k))*sqrt(1-k) -sqrt(1-sqrt(1-k))*sqrt(1-k) -sqrt(1+sqrt(1-k))+sqrt(1-sqrt(1-k))))/15 中央 ( -a<=x<=a) の部分の面積は, S2= ∫ [-a, a] (k-(-x^4+2x^2)) dx= 2 ∫ [0, a] (k+x^4 -2x^2)) dx =2 [kx+x^5/5 -2x^3/3] [0, sqrt(1-sqrt(1-k)] =8sqrt(1-sqrt(1-k))*(3*k+sqrt(1-k)-1))/15 15(S1-S2)/4=0より sqrt(1+sqrt(1-k))*(1+sqrt(1-k)-3k)+sqrt(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)=0 sqrt(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)をかけると sqrt(k){(1-3k)^2-(1-k)}+(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)=0 sqrt(k){(1-3k)^2-(1-k)}-sqrt(1-k)*(1-sqrt(1-k)-3k)= -(1-sqrt(1-k)-3k) 両辺二乗してから移項する -2*sqrt(1-k)*(k-1)*k^(3/2)*(9*k-5)*(9*k-4)=0 0<k<1より (9*k-5)*(9*k-4)=0 k=5/9, 4/9 k=5/9とすると S1≠S2 k=4/9とすると a=sqrt(1-sqrt(5)/3), b=sqrt(1+sqrt(5)/3) S1=S2=(16*sqrt(6))/135 (Ans.) k=4/9
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