面積分の計算について

質問

面積積分で四苦八苦しております・・・

内容は
∬dxdy/√(x^2+y^2+a^2) 積分領域はx0≦x≦x1, y0≦y≦y1の矩形領域です。　aは定数。
積分していくとln(x^2+・・・）やln(a+√・・・）が出てきてその積分がわかりませんでした。

そもそもこの積分は解析的に実行できるのでしょうか？
またもしできるのでありましたら道筋もしくは参考文献などを教えていただけたら幸いです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

∬[D] dxdy/√(x^2+y^2+a^2), D={(x,y)|x0≦x≦x1, y0≦y≦y1}
=∫[x0,x1] dx∫[y0,y1] dy/√(x^2+y^2+a^2)
=∫[x0,x1] arcsinh{y1/√(x^2+a^2)}-arcsinh{y0/√(x^2+a^2)} dx
=y1*ln{x1+√(a^2+x1^2+y1^2)}-a*arctan{(x1y1/a)/√(a^2+x1^2+y1^2)}
+x1*arcsinh{y1/√(a^2+x1^2)}
-y1*ln{x0+√(a^2+x0^2+y1^2)}+a*arctan{(x0y1/a)/√(a^2+x0^2+y1^2)}
-x0*arcsinh{y1/√(a^2+x0^2)}
-y0*ln{x1+√(a^2+x1^2+y0^2)}+a*arctan{(x1y0/a)/√(a^2+x1^2+y0^2)}
-x1*arcsinh{y0/√(a^2+x1^2)}
+y0*ln{x0+√(a^2+x0^2+y0^2)}-a*arctan{(x0y0/a)/√(a^2+x0^2+y0^2)}
+x0*arcsinh{y0/√(a^2+x0^2)}

>そもそもこの積分は解析的に実行できるのでしょうか？
式はもう少し簡単になるかもしれないが、解析的に積分できることが分かったでしょう。

なお、不定積分は容易に想像できるだろうから、不定積分を微分して被積分関数になるか、確認してみると良いだろう。

お礼

お返事ありがとうございました。
私は薬学部の学生であまり物理や数学が得意でないのでとても助かりました。
確かに不定積分は(1/r)関数の積分なのでさっそく確かめてみます。
また、これを機会に教養時代で使った応用数学のテキストも見直して復習しようと思います。

本当にありがとうございます(^^)。