面積分の計算について

質問

以下の問題にについて考えているのですがどうしてもわかりません。なにせここに限って解答が答えしか載っていないもので(ノ◇≦。)

∫s (x+y+z)dS S:2x+2y+z=4,x≧0,y≧0,z≧0
これを面積分するのですが・・・私は以下のように考えました。

先ず2x+2y+z=4を変形してz=-2x-2y+4とし
∂z/∂x=-2 ∂z/∂y=-2

公式∬s f(x,y)|∂z/∂x × ∂z/∂y| dxdy

にやってみたのですがどうしても答えが違ってしまいます。ちなみに答えは16になります。

どうか宜しくお願いいたします<(_ _)>

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

検算してみましたところ、１６になりました。

それで、気になったところを書きます。
＞公式∬s f(x,y)|∂z/∂x × ∂z/∂y| dxdy

ここですが、
＞r=(x,y,z) として
＞公式∬s f(x,y)|∂r/∂x × ∂r/∂y| dxdy
のまちがいだと思います。
∂r/∂x ＝(1,0,-2)
∂r/∂y ＝(0,1,-2)
ですから、|∂r/∂x × ∂r/∂y| ＝3になるはずです。
確認してください。

それと、Ｓは三角形ですので、最後に二重積分するときに気をつけてください。
3∬s f(x,y)dxdy
の内側を定積分するときの区間は[0,2-y]です。

補足

ご解答有難うございます。お恥ずかしい(^^;;
∬s f(x,y)|∂r/∂x × ∂r/∂y| dxdy　の間違いでした。もの凄くお伺いにくいのですが・・・
どのようにしたら
∂r/∂x ＝(1,0,-2)
∂r/∂y ＝(0,1,-2)
のようになるのでしょうか？確かにこれで計算すると
答えは16になることができるのです。
馬鹿らしいかもしれませんが、どうかどうか宜しくお願いいたします<(_ _)>

回答No.3

shkwta

訂正します。
∂r/∂x ＝（∂x/∂x, ∂y/∂x, ∂z/∂x）＝(1,0,-2)
∂r/∂y ＝（∂x/∂y, ∂y/∂y, ∂z/∂y）＝(0,1,-2)
でした。

お礼

丁寧にご解答いただき有難うございました。
感謝感謝です<(_ _)>

回答No.2

shkwta

No.1再質問への回答です。
ｒはＳの各点を指す位置ベクトルで、
ｒ＝（x, y, z)＝（x, y, -2x-2y+4）ですので、
∂r/∂x ＝（∂x/∂x, ∂y/∂x, ∂z/∂x）＝(1,0,-2)
∂r/∂y ＝（∂x/∂y, ∂y/∂y, ∂z/∂x）＝(0,1,-2)
となります。