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非ユークリッド幾何学を最初に選ぶ異星人を想定する。
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- ddtddtddt
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#2です。#3さんへ。 これはもしかして、自分に向けた応答かな？と気づきまして、書きました。 だから「局所的には」です。つまり非常に小さい三角形を考える訳です。ここで局所的なスケールの度合いは？と問われれば、それは非ユークリッド空間の大域的な曲がり方の「激しさ」による、としか言えません(^^;)。局所的スケールの度合いは、その激しさによります。 間違いだったら、ご指摘下さい（知りたいです）。 質問者様へ。私信で使ってすいません。
- Mokuzo100nenn
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三角形の内角の和がちょうど180度になるような空間だけで成り立つ幾何学ですけど、、、。
- ddtddtddt
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リーマン空間は、局所的にはユークリッド空間（平らな空間）と考えられる点の近傍を、連続的に接続する事で得られはずです。つまりリーマン空間においても、一点の近傍の局所においてはユークリッド空間です。 しかしこのままでは全空間でユークリッド的になるので、接続係数なるものが登場します。接続係数はいわば、ある点と隣の点との間での平行線のずれの度合いを表します。 例えば全空間で一様に接続係数が1なら、全空間はユークリッド空間です。そうでない場合は、非ユークリッド空間の（かなり広い）族の一種となります。 で、接続係数の選び方は結局、人間の勝手です。何故なら一つの接続係数を選んだ時には同時に、そうでない幾何学も可能だからです。全空間一様な接続係数を選択したなら、それはユークリッド幾何学を使いたかったからです。大抵の場合その理由は、「便利だから」という事になると思います。 物理的には現実の宇宙が非ユークリッド的（曲がった空間）だという事は、相対論に基づく重力レンズ効果などで、ほぼ実証されています。 「でも実用的には、ユークリッド幾何学で十分なんだよね」 「何故ならリーマン空間は、局所的にはユークリッド的だから・・・」 ・・・では駄目でしょうか？(^^;)。
- 雪中庵（@psytex）
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たとえば極端な濃霧＆暴風で、視覚・聴覚を持たない 生物がいたとする。 運動と触覚の１次元的世界に暮していると考えられる。 視覚・聴覚といった情報性の高い先行感覚なしに、 空間感覚（予測的な五感の複合）は育ち得ない。 三次元空間なしに、ユークリッド幾何学は成立しない。 平行線定理を一次元に射影すれば、どのような幾何が 生じるのか分からないが、そうしたものだろう。 平行線の定理は、論理学における不完全性定理＝ 公理系は不完全（その公理系で証明できない公理の 介在）である事によってのみ無矛盾（有限な値）で あり得るという事の幾何学的射影であり、ゲーデル はその過程で「論理」「公理」の普遍化をしている 事から、どのようなパラダイムであれ平行線の定理 的なものは射影しているはずだ。
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