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リーマン幾何学を更に発展させた微分計量幾何学
大雑把な言い方ですが、一般相対論によると、物質（エネルギー）があると、その周りの空間が湾曲しますが、その数学はリーマン幾何学によってあらわさせます。 もし、物質の密度が大きいほど、物質が、時間の経過に従い、どんどん収縮すると仮定すると、リーマン幾何学を更に、進化させる必要があるはずですが、そんな数学（微分計量幾何学）は、あるのでしょうか？ 追伸 物質の密度が大きいほど、物質が、時間の経過に従い、どんどん収縮するというのは、あくまでも、仮の話です。数学は、物理（現実）と違い、なんでも許される楽しいです。
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(3)だと思います。さて、 >更に、曲がった空間が時間の経過に従って、密度の濃さに比例して、 という言い方からして、リーマン幾何より 一般相対論を意識しているんじゃないんですか？ >物理学における物質の大きさは一定 この大きさというのはボーア半径とか、 太陽の大きさみたいなものを指しているわけですか？ それなら、確かにそうですが、それらは大きさが 幾何学的な要因で決まるのではなく、 電磁気力などの他の力の影響のほうが大きくなります。 このへんについては、 池内了著「宇宙と自然界の成り立ちを探る」 が詳しいです。 どうもおっしゃりたいことが分からないんですが、 物理指向(一般相対論など)なのか、数学指向(リーマン幾何)なのか、 数学指向ならば、密度、物質の大きさといった ここでの物理用語をどう定義するのか、 物理指向ならアインシュタイン方程式を仮定するのか、 それなら、数値相対論とはどのへんが違うのか、 あたりを説明していただかないと先へは進めません。
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おそらく、kobe655さんの頭のなかで、 半径Rの球面といったら、 X=R sin(u)cos(v) Y=R sin(u)sin(v) Z=R cos(u) であって、 ds^2=R^2(du^2+sin^2(u)dv^2) では無いのでしょう。 球面を前者（すなわち３次元ユークリッド空間への埋め込み）で とらえてしまうので、余分な次元が必要だという話になるのでは。 新しいことをやりたいという気持ちは素晴らしいと思いますが、 まずは既存の理論を正しく理解することが先だと思います。 失礼ながら、今までのコメントから判断いたしまして、 リーマン幾何学も、一般相対論も正しく理解していないようです。（特に＃６の補足の内容） まずはそちらをしっかり勉強されたほうがよいかと思います。 それなくして斬新なことを考えるというのは 物理でも数学でもなく、単なるSFでしかありません。 えらそうなことを言って申し訳ありません。 私は数学が専門ではありませんが、 理論物理プロパーの立場からあえて言わせていただきました。 ちなみに、M理論の幾何学は＃２で述べた非可換幾何学だと考えられています。
>同様に、もし我々の３次元（空間）＋１次元（時間）の世界が、 >膨張（収縮）すれば、５次元以上の空間が、数学的には、 >存在するはずです。（風船からの類推） このへんは私が熱く語ってますのでどうぞ。 http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=629339 http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=629490 一般相対論では時間も空間も同じ扱いなので 空間座標でできることは時間座標に対してもできます。 物理的に意味があるかどうかはさておいて。 だいたい、一般相対論⊂リーマン幾何であって、 「一般相対論を拡張したい」なら、まだしも、 「リーマン幾何を拡張したい」は、相当大事になります。 なにか指導原理というか、哲学がないと・・・
補足
お返事ありがとうございます。 >このへんは私が熱く語ってますのでどうぞ。 >http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=629339 >http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=629490 大変、面白いです。しかし、風船が膨張した場合と同様、もし我々の３次元（空間）＋１次元（時間）の世界が、 膨張（収縮）すれば、４次元以上の空間が、数学的には、存在すると、私は思います。まあ、それは、置いておきまして、 >一般相対論では時間も空間も同じ扱いなので >空間座標でできることは時間座標に対してもできます。 >物理的に意味があるかどうかはさておいて。 ご指摘通りでございます。私も、時間だけ、特別扱いになっている気がしてます。（でも、そこを何とか上手く解釈して救いたいです。） >だいたい、一般相対論⊂リーマン幾何であって、 >「一般相対論を拡張したい」なら、まだしも、 >「リーマン幾何を拡張したい」は、相当大事になります。 これも、ご指摘通りでございます。 さて、曲がった時空を取り扱う数学はリーマン幾何学ですが、更に、曲がった空間が時間の経過に従って、密度の濃さに比例して、収縮（また膨張）するような数学（多分、４次元以上の空間（曲がった空間が３次元の場合）が発生する）は、 （１） 現在、存在する。 （２） 現在、存在しない。 （３） 数学的に、意味がない。（リーマン幾何学の時間経過であらわされる。） （４） 数学的に、意味がない。（その他の理由による） （５） その他 のどれでしょうか？ 追伸 一般相対論での扱いも、そうですが、物理学における物質の大きさは一定で、換言すれば静止状態です。私は、静止状態は非常に不安定な気がしているのです。物質の大きさは、収縮か膨張の方が、静止（分子運動の意味ではありません。）で一定状態よりも、安定で確率的にも自然なような気がしているのです。（また、質点という考え自体も変だと思います。）だから、宇宙が膨張しているよりも、宇宙の物質すべてが、収縮（すなわち変化）していると思っているのです。だから、上記のような幾何学をさがしているのです。（かなり変ですが、面白いでしょう。。。）また、物質が収縮する理論は、どこかでM理論と接点があるような気もしてます。
- grothendieck
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kobe655さん、こんにちは。リーマン幾何学および一般相対論の特徴の一つはtorsion freeであるということです。しかし重力理論を他の相互作用と調和させようとするとtorsionが必要になることが示唆されます。torsionを含むように理論を拡張すること、および観測でtorsionを検出することが考えられているようです。私は全然詳しくないので、文献を調べて下さい。
補足
超重力理論で、torsionを取り入れて一般相対論を、拡張していることは聞いたことがあります。でも、具体的には私の質問と、どのように関係するのか、不明です。
>たとえば、風船の表面に世界があるとします。当然、表面なので ２次元（空間）＋１次元（次元）の世界です。その風船が、「表面の世界の住人には、気づかれずに、どんどん膨張している。」とします。すると、その風船の膨張を眺めている第三者（表面上にいるのではなく風船から離れて眺めている）は、膨張する際に生じる３次元（空間）の世界が存在することを確認できます。 同様に、もし我々の３次元（空間）＋１次元（時間）の世界が、膨張（収縮）すれば、５次元以上の空間が、数学的には、存在するはずです。（風船からの類推） どうやら、少し勘違いをしているようですね。 上の考え方が根本的にあやまりです。 リーマン幾何学とは、例えば上の風船の上の例で言えば、 球面+時間の2+1次元多様体の言葉だけで、 すなわち、高次元への埋め込みを介さないで、 時空がいかに曲っているのかを記述するための、 まさにそのための数学の言葉です。
お礼
お返事ありがとうございます。 しかし、リーマン幾何学や一般相対論について、ご質問している訳では、ございません。 （私の表現が悪いに違いないのですが、、、今ある理論について考えても、面白味がないので、要するに、斬新なことを考えたいのです。） どう表現すれば、良いのか？？？ 私が、少し頭を冷やします。
>そんな量子力学と絡めて難しいことは考えてません。 そうなのですか...すみません。 ひょっとしてと思ったのですが、 一般相対論の幾何学に「時間」も入っているのはご承知ですよね。 時間も含めて「曲っている」のも。 一般相対論の数学は、計量のsignatureが(1,3)である (則ち局所的に計量を対角化して対角行列 diag(-1,1,1,1)とできる) 4次元リーマン幾何学ですよね。 擬リーマン幾何学という言い方をするのかも知れません。 そして、その計量がアインシュタイン方程式によって時間発展するわけです。 >どんどん収縮するというのは、あくまでも、仮の話です とありますが、これは「重力崩壊」として知られている話で、 「仮の話」ではなく、非常に重い物質に関して実際に起こる物理現象です。 一般相対論の解にそういうものがあります。 ただ、あまりに小さくなると、量子力学を考えねばならず、 量子論を考慮していない一般相対論では記述できなくなるわけで、 そのことを気にしているものと思いました。 それを気にしないのであれば、 #1の補足にある現象の様に、時間にしたがってどんどん収縮してゆく 理論は一般相対論(擬リーマン幾何学)で十分記述できると思います。
補足
お返事ありがとうございます。 ＞それを気にしないのであれば、 ＞#1の補足にある現象の様に、時間にしたがってどんどん収縮してゆく ＞理論は一般相対論(擬リーマン幾何学)で十分記述できると思います。 たとえば、風船の表面に世界があるとします。当然、表面なので ２次元（空間）＋１次元（次元）の世界です。その風船が、「表面の世界の住人には、気づかれずに、どんどん膨張している。」とします。すると、その風船の膨張を眺めている第三者（表面上にいるのではなく風船から離れて眺めている）は、膨張する際に生じる３次元（空間）の世界が存在することを確認できます。 同様に、もし我々の３次元（空間）＋１次元（時間）の世界が、膨張（収縮）すれば、５次元以上の空間が、数学的には、存在するはずです。（風船からの類推） しかし、時間にしたがってどんどん収縮してゆく理論を、現状の一般相対論で現そうとすると、３次元（空間）＋１次元（時間）のままのはずです。何か欠けているような気がするのです。膨張や収縮する理論は、一般相対論を更に、数学的に進化させる必要があると思うのです。
kobe655さんの質問は、 「一般相対論の数学はリーマン幾何学であり、 それはどんな近くの点の間にも計量が定義されるものだけれども、 量子論的な領域ではその有効性が崩れるのではないか」 ということでしょうか。 そうだとすると、 >もし、物質の密度が大きいほど、物質が、時間の経過に従い、どんどん収縮すると仮定すると、リーマン幾何学を更に、進化させる必要があるはずですが、そんな数学（微分計量幾何学）は、あるのでしょうか？ は、ある意味正しい指摘だと思います。 高エネルギーの重力理論は一般相対論ではなく、 量子重力理論の領域に入ります。 現在、量子重力理論の完全な定式化はありませんが、 その有力な侯補として弦理論が考えられており、 その弦理論の幾何学は「非可換幾何学」で記述されるだろうと考えられています。 非可換幾何学はコンヌという数学者によって主に研究されたもので、 おおざっぱにいって時空の点が非可換な幾何学です。 非可換な写像が成す空間を幾何学的な対象と見て幾何学を展開するようです。 ただし、私は非可換幾何学についてはほとんど知らないので、 あくまで参考程度ということで。 より詳しいことはウェブで検索するなりして下さい。
お礼
お返事ありがとうございます。 >量子論的な領域ではその有効性が崩れるのではないか」 そんな量子力学と絡めて難しいことは考えてません。んー、難しくてよくわからんです。すいません。
>リーマン幾何学を更に、進化させる必要があるはず なぜですか? 物質の密度云々というところから考えて 質問者さんは、リーマン幾何というより一般相対論を意識しているようですが、 だとすると、アインシュタイン方程式のenegy-momentum tensorを 時間に依存するようにするということだと私には思えます。 そうであれば、解析的にはほとんど結果は出せないので 数値的に研究されています。
補足
お返事ありがとうございます。 ＞だとすると、アインシュタイン方程式のenegy-momentum tensorを 時間に依存するようにするということだと私には思えます。 物理学（一般相対論）＝現実の世界なら、その通りだと思います。 我が儘、申しまして、恐縮でございますが、私は、未知の数学（私にとって）を求めてます。 どのような数学かと申します。 昔、ミクロの決死圏というアメリカ映画で、「宇宙船に乗った乗組員（スティーヴン・ボイド、ラクエル・ウエルチ、ドナルド・プレザンスら）がある光線を浴びると、宇宙船ごとミクロに収縮する。」シーンがあったのですが、宇宙（＝世界）に丸ごと この光線を連続的に浴びせて、収縮するような世界を現す数学を、求めてます。但し、すべて、等速度で、収縮するなら、何の変化も感じられないので、密度が高いほど、収縮率が大きい。と条件を付けたいのです。（ちょうど、一般相対論でいうところの、物質密度の高いほど、湾曲が大きいのと同イメージです。） 如何でしょうか？やはり、上記でも、アインシュタイン方程式のenegy-momentum tensorを 時間に依存するようにするということになるかもしれませんが、、、 よろしくご指導願います。
お礼
＞(3)だと思います。さて 結論は、やはり そうでしょうね。残念です。夢のようなことを考えるのは、少しお休み致します。現実の仕事に追われて、今、帰宅したところです。１ヶ月くらい先に、もし、心の余裕ができたら、また、ゆっくり考えてみたいです。 いろいろと、お付き合い頂きまして感謝致します。今後ともよろしくお願いいたします。