ローレンツ収縮

質問

特殊相対性理論に関する質問です。
長さが30万kmの列車があるとします。
この列車がごくわずかな時間で光速ギリギリまで加速したとします。
この列車がローレンツ収縮をしたと仮定すると列車が光速を越えて縮むように観測される
状況が作れてしまうのですが。
このような収縮は本当にあり得るのでしょうか。

回答No.30

有木 巨智麿（@kothimaro）

ローレンツ変換は、マイケルソンとモーレーの実験結果を説明する為に考えられました。
MM実験を概説します。光を横方向 (進行方向)と縦方向に、同距離往復させました。装置は地球と一緒にVkm/秒で移動しています。すると、静止時に比べて、横往復距離は1/(1－V^2/C^2)倍、縦往復距離は1/√(1－V^2/C^2)倍となります。しかし、2本の光は同時に戻りました。

これを説明する為に、ローレンツは、装置自体が横へエーテルに押されて√(1－V^2/C^2)収縮したと考えました。これが、ローレンツ収縮です。便宜上、片道をCkmとします。これにより
横往復距離=2C*√(1－V^2/C^2)/(1－V^2/C^2)=2C/√(1－V^2/C^2)km
縦往復距離=2C/√(1－V^2/C^2)km
となり、2本の光は同時に戻ったとしました。

物質である物差しが、横方向へ√(1－V^2/C^2)倍に縮むと、空間の定義は1/√(1－V^2/C^2)倍となります。横方向では、その物差しを使うと、CkmのエーテルをC/√(1－V^2/C^2)kmと測ります。
便宜上、光の座標を(x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)の平面とします。光は1秒間にCkm進んでいますが、定規が縮むので、C/√(1－V^2/C^2)km進んだと測れます。装置自体は、1秒間にVkm進んでいますが、同様にV/√(1－V^2/C^2)km進んだと測れます。縦方向では変化はありません。

従って、距離の変換式は、
(1)x’=(x－Vt)/√(1－V^2/C^2)
(2)y’=y
(3)z’=z
となります。

ローレンツは、電磁力や重力等の物質を動かす力は光速Cで伝わると考えました。この力の相対的伝播速度は物質が速度Vで移動すると変化します。
また、物質自体が横に√(1－V^2/C^2)倍となっているの(地球全体が縮んでいる)で、物質間の距離が短くなっており、このことも物質を動かす力の到達時間に影響します。
物質を動かす力が速く伝わると、物質は速く動き速く変化する様になります。私は速く動き、私の持つ時計は速く時を刻みます。逆の時、私はゆっくりと動き、私の持つ時計はゆっくりと時を刻みます。

物質間の距離は、√(x’^2+y’^2+z’^2)= t*(C－Vcosθ)/√(1－V^2/C^2)kmです。従って、物質を動かす力は、t*(C－Vcosθ)/C√(1－V^2/C^2秒で伝わる様になります。
従って、時間の変換式は
(4)t’=t*(C－Vcosθ)/C√(1－V^2/C^2)
となります。x=Ct*cosθ、∴cosθ=x/Ctを(4)に代入すると、
(4)t’= (t－(Vx/C^2)) / √（1－V^2/C^2）
として、ローレンツ変換を導きました。

この様に、ローレンツ収縮はマイケルソンとモーレーの実験で2本の光が同時に戻って来たことを説明する為の物質の収縮です。

回答No.29

mikamikadon

#28
まあ、物理における言葉の使い方の問題でしょうけど＞ローレンツ収縮。
＞物体はあっという間に1点に潰れブラックホールと化す。
お、面白い。

#24 で、ブラックホール云々言ったのは、かなり間違いでした。まあ、まったくの無関係というわけでもないかもしれませんが。
むしろもしかしたら、クルスカル座標の左側に似ているかな？ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%BC%E3%83%83%E3%82%B1%E3%83%AB%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
もちろん、特殊相対論では本物のBHはできないので、中心の特異点もないわけですが。

私の実力では、このぐらいの議論で精一杯ですが・・・。
質問者様は沈黙されてますね・・・。

回答No.28

noname_deadbeef

＞物理では、等速度運動のときだけローレンツ収縮という言葉を使うのですか。

いや、私も入門書止まりなので正統な言い方とか知りません…
加速度運動中でも少なくとも「座標系」はその時時の速度に応じてローレンツ収縮していると言っていいと思います。

「収縮」も必ずしも外見から縮むことだけではなく、「引き伸ばされたまま自然長が縮んで、ぴーんとなった」というのも含まれますよね。その意味では物体も「ローレンツ収縮をした」し、収縮するのと縮むのは別問題（相対論的剛体という仮定や地球の加速度を無視という仮定を置くかどうか）とも言えるわけです。

収縮と縮むことを混同するとこんな主張もできるかも？
「物体が何かのきっかけで片端から縮み始めた。縮んでいく部分は速度を持ったためローレンツ収縮で更に縮む。物体はあっという間に1点に潰れブラックホールと化す。」

回答No.27

mikamikadon

すみません。物理では、等速度運動のときだけローレンツ収縮という言葉を使うのですか。
つい、列車が加速度運動する場合は列車の微小部分がそれぞれわずかずつ異なる（列車の後端に近い程短く）ローレンツ収縮をして、その（最初の慣性系(Sとする)から見て同時な時刻での）積分なのかと思ってしまいました。まあ、積分しなくとも、全体の長さはSから見て同時での先端と後端の位置で分かるはずですが。

時空図を描いてみると、列車が加速を止めて等速度運動に移行する場合、固有長を保存するためには、一般に列車全体がSから見て同時に加速を止めるわけにはいきません。
各車両がロケット推進だった場合、Sから見ると、最後尾の車両からロケット噴射が止まり、最後から2番目のロケット噴射がそのわずか後に止まり、と後ろから順に加速が終わって、先頭の車両のロケット噴射が止まって、ようやく、列車全体が等速度運動になり、通常のローレンツ収縮の式の値になるはずです。
#17 で言及しました。

回答No.26

noname_deadbeef

物体各部でローレンツ収縮が起こっても、最終的に有限の大きさを持つ物体全体がローレンツ収縮に従った長さになるには全体の弾性ひずみが解消される必要があって、それは結局前後に伸びる物体を普通に力でもって加速して中心に引き寄せなければならぬのです。それで光速を超えることはありえません。
No.23さんがわかりやすくこの辺りを誤解してくれていますね。「エーテルの風を受けて物体が縮むのではなく、空間が変形しているのだ」という感じの説明から時空が一般相対論よろしくぐにゃぐにゃしていると解釈してしまったのでしょう。
個人的には、運動力学に限れば「光速が一定になるように原子が進行方向に縮むのだ」と説明したほうがずっと明解だと思っています。電磁気学の説明としてのエーテル説が筋が悪かったのだとしても初心者にそれを言ってどうしたいんだと。

質問主の最初の質問に対して端的に問題を指摘すると、
列車各部を一斉に加速開始して一定時間後に（元の静止系で同時に）加速終了させたとすると、（生じそうなひずみの話をまるごと無視するとしても）加速を終了した前端の物体にとっての同時刻においてはそれより後方の物体は絶賛加速中で、前端も間接的にもうしばらく加速が続くことになります。ローレンツ収縮の前提は等速度運動ですから、こんな加速中の段階で適用してはいけません。
ローレンツ収縮して見える物体の、前端は中の人にとっては過去の前端、後端は中の人にとっては未来の後端なのです。大きい物体が式通りにローレンツ収縮するにはある程度の時間等速度で進んでもらわないといけません。

回答No.25

mikamikadon

すみません。thunderfish と mikamikadon は同一人物です。gooとOKWaveでのHNを違った名前で登録してしまったためです。

回答No.24

mikamikadon

#23様。この質問でのローレンツ収縮は、地上（最初に列車が静止していたとされる慣性系）から見て、列車が加速することで起こる収縮（というか、収縮の変化率（？））ですので、この質問の状況では光速を超えるローレンツ収縮があるとすると、列車の一部分が、見かけ上ではなく、実際に地上から見て光速を実際に超えることになると思います。だから、これはあり得ないとすることになると思います。

ただ、#23様のbの解釈は私のような素人では難しすぎる。

列車の先頭部分の加速度がaとして、長さがL=2・c^2/a の場合。
列車の後ろ部分の収縮「率」はマイナスになるわけだが、時空図を見ると過去に光速に近い速度で列車の後ろ部分が移動して、それが減速することにより段々収縮が解除されて停止する（収縮率がマイナス（？））。その瞬間列車の前半部分が加速を開始する？
とにかく、列車の丁度中間の部分は質量0で光速で動く、としないとまずいし、もしかしたら、列車の後半部分は反物質で出来ているのかもしれないが・・・。
いろいろ想像はできても、物理的に意味があるかどうか？は分かりません。
何か、ブラックホールの外側でホバリングしている観測者から見た場合、シュヴァルツシルト半径内は半径rや時間の符合が逆転するような式になる、というような話もあったような・・・。

取りあえず、#22bの物理的意味は分からないけれど、単に列車の後半部分をタキオン製にするなどというのは安易な考え方なんでしょうね。

回答No.23

atom_gooid

ローレンツ収縮は、空間の見かけの収縮なので、縮む速度が光速を越えてもかまわないと思います。ただ、この現象がどのように観測されるのかが問題になると思います。

光速を越える速度で縮小している空間内部から出る光が、どのようになるのか、ちょっと想像できません。インフレーションの逆のような気もします。

回答になっていなくて、すみません。

回答No.22

noname_deadbeef

「相対論的剛体」の定義、ありがとうございます。

質問主さんが何をしたかったのかはやっぱりわからないですが…この線で整理してみます。

a.固有長を保つように物体の各部分を加速させている状態を相対論的剛体と呼ぶことにする。
これを実現するには、どう加速させればいいのかを事前に計画を立てて、各部分に取り付けたエンジンに事前にプログラムを読み込ませて置かなければいけない。
力が伝達して釣り合いを回復するとか音速（光速）とかを持ち出すのは（一見正しそうに思わせておいて）この場合には前提を無視したミスリードである。
そして「固有長を保つように加速する」の時点で加速の仕方は一意に決定され、それは「どの車両にも同じ加速度を与える」とは両立しない（加速度0は除きます）。
こちらの考え方の場合、「c^2/a」より長い物体の前端を加速度aとしつつ固有長を保つように全体を加速させることは論理的に不可能である→そんな計画は立てられない→そういう相対論的剛体（状態を実現すること）は（ばらばらになるとか以前に）不可能である、となる。

b.力を加えたらその時点のその物体の等時面に沿って一瞬で（つまり光速を超えて）力が伝わる仮想的な物体を考えてそれを相対論的剛体と呼ぶ。
そんなものが実際にあったら因果律が破れる（とりあえず相対論的剛体を2個用意すれば過去に情報を送ることができます）ので、あくまで仮想である。
この相対論的剛体の質量を考えないものとして、前端を加速度aで引っ張ると、「c^2/a」の長さだけ後方に見かけの地平面が出現し、それより後方の物体は取り残される（ばらばらになる）。それはその通り。だが、よく考えてみると問題はそこではない。「見かけの地平面より後方では、相対論的剛体の等時面が時間を逆行する」という事態が発生しているのである。
（地平面からは何も出てこない、というのも普段なら正しいが、光速に縛られた考えなのではないかしら。とはいえ）
時間を逆行する座標系…？どうすればいいのだろうか…
「式を立てられるのだからc^2/aより長い相対論的剛体が定義できてるじゃん」というのはさすがに乱暴だろうなとは思います。

回答No.21

mikamikadon

「相対論的剛体」は（実際はいろいろ定義が工夫されたようですが、普通は）「その物体が静止しているように見える観測者にとって変形しない物体」を意味します（従って、それ以外の座標系から見て変形することは許す）。併進運動の加速はありえますが、角加速はできません。この質問の場合、1次元の運動ですから列車の乗客から見た列車の長さ（固有長）が変化せずに加速した場合、どうなるか？が問題だと思います。

固有長を一定にするためには、全体が同時に加速されなければいけないため、力は分散する必要があります。本来は、列車を構成する個々の粒子をなんらかの方法でそれぞれ独立に力を加えて加速しないと不可能です。剛性を高める極限でも音速＝光速がせいぜいで、この場合でも固有長は変化してしまいます。

いっそ、連結器がないとした場合で考察する方が情報の伝達がないことが強調されるのでよいかもしれません。

あと、「一様重力場」という言葉を使ってしまいましたが、列車の場所によって重力が異なるわけですから、一様ではないですね。申し訳ございません。（ローレンツ収縮の仕方を考える質問ですので、このような議論は本当は不要ですが。）