大学の数学科の数学

質問

私は今、物理科４年生で理論物理を学んでおり、大学院に進学予定です。
そのためかなり高度な数学も学ぶ必要があり、今苦心しているところです。
私はまだ学部生なので、そこまで高度なことは学んでないのですが、

群論、微分幾何、リーマン幾何学、リー代数、トポロジー、ホモロジー、ホモトピー、ルベーグ積分、ヒルベルト空間論、位相、多様体

などという言葉を研究室内でよく耳にするので、恐らくこういうのを今後学んでいかなければならないのだと思います。

しかし、私は、物理数学として学部時代に少し学んだだけで、ちゃんと体系的に学んできたわけではないので、数学科の人が何をどういう順番で学んでいるのかよく知りません。

上にあげたような分野も、それを学ぶ前に前提として学んでおかなければならないことが何なのかが全く分かりません。

そこで質問なのですが、数学科の人たちはどのような科目をどのような順番で学んでいるのでしょうか？そして数学科の人が卒業するまでに求められる範囲というのはどのへんまでなんでしょうか？

例えば物理学科だったら、すべての学生に求められる範囲（とその順番）は

力学
電磁気学
物理数学（微積分・線形代数・ベクトル解析・フーリエ解析・複素解析・確率・統計）
↓
特殊相対性理論
解析力学
熱力学
↓
量子力学
統計力学

といった感じだと思います。

色んな大学の数学科のホームページのカリキュラムのところを見たのですが、
「代数１」「解析１」みたいな感じの名前ばっかりで、中身がなんなのかは分からないのが多いです。
そいういう大雑把な名前ではなく、フーリエ解析とか群論、みたいにある程度具体的に教えていただけると助かります。

あと、数学の体系についても少し教えてもらえるとうれしいです。
私の理解だと、数学の分野は大きく分けて、
代数学・解析学・幾何学・集合論・確率統計・情報理論
に分かれると思うのですが、大体合ってますか？
例えば線形代数は代数学、微積は解析学に入りますが、例えばフーリエ解析や複素解析はどこに入るのでしょうか？解析ってついてるくらいだから解析学ですかね？
位相やヒルベルト空間論や離散数学はどこに入りますか？
また、幾何学や集合論にはどういうのが含まれるのでしょうか？特に学部レベルだと何をやるんでしょうか？

色々質問しましたが、答えたいものだけ答えていただくのでも構いませんのでよろしくお願いします。
長くてすみません。

回答No.2

HANANOKEIJ · ベストアンサー

数学科の学生に聞くのが、一番早いでしょう。

図書館で、岩波講座「現代数学への入門」全１０巻２０分冊を読んでみてください。

「現代数学の流れ　１」という分冊の４３ページに、２０冊のつながりが図解してあります。

「現代数学への入門」は、高校から、大学１，２年の教養課程の数学だと思ってください。

岩波講座「現代数学の基礎」全１７巻３４分冊、これは、数学科の学部生の必修科目と

選択科目くらいだと思います。

岩波講座「現代数学の展開」全１２巻２４分冊、数学科の３，４年生、大学院生以上、

と書いてあります。

数学セミナー編集部編「数学完全ガイダンス」これ１冊で、数学の情報満載です。

持っておくと役に立つ本、岩波書店「解析概論」改訂第３版、ハードカバー箱入り。

岩波書店「自然科学者のための数学概論」寺沢寛一著、増訂版、応用編、

微分方程式のハンドブックみたいです。

朝倉書店の数学３０講シリーズ１０冊。志賀浩二著。「固有値問題３０講」に

ヒルベルト空間がでてきます。

「物理数学」「基礎解析学」「応用数学の基礎」「応用解析学」など、いろんな

タイトルの本がでていますが、内容は、ほとんど、微分方程式、ベクトル解析、

複素関数論、フーリエ級数、ラプラス変換など、偏微分方程式まで、理系の

学部で履修する解析の内容です。

集合と位相は、数学のどの分野にすすんでも、共通のことばのようなものです。

岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著を読んでみてください。

現代数学社「ε-δに泣く」「∀と∃に泣く」「MAXとMINに泣く」「DIMとRANKに泣く」石谷茂さんの

数学盲点シリーズも読んでみてください。

「数学セミナー」「理系への数学」月刊誌も読んでみてください。

講談社「そのまま使える答えの書き方」シリーズ、記号だらけですが、慣れるまで、ながめてください。

一番早いのは、岩波講座「現代数学への入門」全１０巻２０分冊の、まえがき、学習の手引き、

あとがきのかわりの「現代数学への展望」と参考書を全部読んでみてください。

お礼

詳しい解答ありがとうございます。

とりあえずあげていただいた本全部を図書館で見てみます。

数学３０講シリーズは先輩からも薦められたので、
この辺から勉強してみようかと思います。

ありがとうございました。

回答No.4

HANANOKEIJ

どこの大学の数学科、数理科学科、教育学部数学科でも、内容は同じだと思います。

岩波講座「現代数学への入門」全１０巻２０分冊のうち、微分と積分１，２、行列と行列式１，２が教養部の

微分積分(解析学)と線型代数に相当するでしょう。教養部で統計学も履修できました。

学部に入る前に、集合と位相の講義と演習があると思います。

学部の必修科目は、実解析１，２、複素解析１，２、代数１，２、幾何１，２、微分幾何１，２、確率統計１，２

情報数学１，２、位相数学１，２、あとは忘れました。内容は、講義を担当する教授が、決めるので、よくわかりませんが、

岩波講座「現代数学の基礎」全１７巻３４分冊の内容と、ほぼ同じでしょう。昔のことなので、計算機数学では、

フォートランのプログラムを書いて、パンチカードに穴をあけた記憶があります。パソコンも、ワープロもなかった。

２，３日前、ヤフーのオークションに、「現代数学の展開」１１巻が出品されていました。今朝みたら、もう

落札されていました。

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Lounge/1030/math/gendai.html

岩波　数学入門辞典：http://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0802090/index.html

読んでわかる数学の本に出会ったら、その著者の本を、さがして読んでください。

吉田武さんの「虚数の情緒」、「オイラーからの贈り物」、どちらも、オイラーの公式を導く本ですが、

興味深く読めるでしょう。関数論、複素関数、複素解析の入門によいでしょう。

位相数学、位相空間で困ったら、「位相への３０講」志賀浩二著、「はじめよう　位相空間」大田春外著、

石谷茂著「初めて学ぶトポロジー」現代数学社、などが、役に立つでしょう。

ギリシャ文字アルファー、ベータ、ガンマなどは、ご存知でしょう。位相数学では、ドイツ語の飾り文字

を使ったりします。飾り文字の大文字、小文字を持っておくと便利です。

「フラクトゥール」で検索するか、「ドイツ文字」で、でてきます。

岩波書店「集合・位相入門」松坂和夫著を使うときは、ドイツ文字のアルファベット表を扉に貼っておくと

役に立ちます。

大いにお励みください。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。

あれからHANANOKEIJさんのご回答中にある様々なキーワードをネットで検索したりして、
色々見ていましたらなんとなくイメージがつかめてきた気がします。

道はずいぶんと険しそうですが頑張ってみます。

大変ありがとうございました。

回答No.3

HANANOKEIJ

岩波書店「理工系の数学入門シリーズ」こちらの本は、物理学者、工学者が書いた数学の本です。

たとえば、「ベクトル解析」という、タイトルの本を読み比べてみてください。

代数といえば、群論を学習すると思います。ガロアの名前もご存知でしょう。

ブルーバックス「ガロアの群論」、技術評論社「天才ガロアの発想力」を読んでいます。

集合と位相の教科書を１冊えらんで、じっくり読んでください。数学科では、２年の前期と後期で

集合と位相の入門、３年前期で、標準的な教科書１冊分の内容をやります。

幾何といえば、「多様体入門」をやるか、曲面の幾何、微分幾何をやると思います。

「ベクトル解析」は、物理学だと思っていました。

ちくま学芸文庫「トポロジー　基礎と方法」野口廣著、日本のトポロジーの第一人者です。

ちくま学芸文庫「現代の古典解析」森毅著、京都大学教養部の微分積分(解析学)の講義風景です。

ベレ出版「数学が解き明かした物理の法則」大上雅史、和田純夫共著、おすすめです。

和田純夫さんの本をさがして、読んでみてください。

江沢洋さんの「力学」日本評論社、物理学の本ですが、微分積分(解析)の本でもあります。

日本実業出版社「道具としての微分方程式」野崎亮太著、解析とは、微分方程式を解くこと、

だれが言ったのか知りませんが、昔聞いた名言です。わかりやすい、物理数学の入門書です。

数式がでてこない統計学の本、「統計学という名の魔法の杖」現代白鳳選書、本田克也、浅野昌充、神庭純子共著。

数学の本は、抽象的で、投げ出したくなるときがあります。そんなときは、わかりやすい本を読んで、

気分転換してください。ずっとあとで、読んでみると、その意味がすっとわかるときがきます。それまで、

考え続けてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞数学科では、２年の前期と後期で集合と位相の入門、３年前期で、標準的な教科書１冊分の内容をやります。

１年時に微積分や線形代数をやり、２，３年から抽象的なことに入っていくということですね。

＞ずっとあとで、読んでみると、その意味がすっとわかるときがきます。

力強いお言葉ありがとうございます。がんばります。

回答No.1

koko_u_u

＞数学科の人たちはどの ような科目をどのような順番で学んでいるので しょうか？

興味の向くまま、好き勝手な順番で学習しました。

＞分かれると思うのですが、大体合ってます か？

だいたいそうだけど、分類に大した意味はありません。
必要になった時点で、必要な知識を身に付ければよろしい。

お礼

早いありがとうございます。

＞興味の向くまま、好き勝手な順番で学習しました。
まあ、それが理想なんでしょうね。

ただ、学問は積み重ねですし、ある程度は順序というものがあるわけですよね。
たとえば物理の場合ですと、力学を学ばずに量子力学を学ぶ人はいませんし、
統計力学の前にはふつう熱力学を学んでおくものです。

大学生なら必修科目がありますので、ある程度それに従って勉強しますよね。
数学科の必修の大まかなカリキュラムをおしえていただけると嬉しいです。