• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

大学の数学科の数学

私は今、物理科4年生で理論物理を学んでおり、大学院に進学予定です。 そのためかなり高度な数学も学ぶ必要があり、今苦心しているところです。 私はまだ学部生なので、そこまで高度なことは学んでないのですが、 群論、微分幾何、リーマン幾何学、リー代数、トポロジー、ホモロジー、ホモトピー、ルベーグ積分、ヒルベルト空間論、位相、多様体 などという言葉を研究室内でよく耳にするので、恐らくこういうのを今後学んでいかなければならないのだと思います。 しかし、私は、物理数学として学部時代に少し学んだだけで、ちゃんと体系的に学んできたわけではないので、数学科の人が何をどういう順番で学んでいるのかよく知りません。 上にあげたような分野も、それを学ぶ前に前提として学んでおかなければならないことが何なのかが全く分かりません。 そこで質問なのですが、数学科の人たちはどのような科目をどのような順番で学んでいるのでしょうか?そして数学科の人が卒業するまでに求められる範囲というのはどのへんまでなんでしょうか? 例えば物理学科だったら、すべての学生に求められる範囲(とその順番)は 力学 電磁気学 物理数学(微積分・線形代数・ベクトル解析・フーリエ解析・複素解析・確率・統計) ↓ 特殊相対性理論 解析力学 熱力学 ↓ 量子力学 統計力学 といった感じだと思います。 色んな大学の数学科のホームページのカリキュラムのところを見たのですが、 「代数1」「解析1」みたいな感じの名前ばっかりで、中身がなんなのかは分からないのが多いです。 そいういう大雑把な名前ではなく、フーリエ解析とか群論、みたいにある程度具体的に教えていただけると助かります。 あと、数学の体系についても少し教えてもらえるとうれしいです。 私の理解だと、数学の分野は大きく分けて、 代数学・解析学・幾何学・集合論・確率統計・情報理論 に分かれると思うのですが、大体合ってますか? 例えば線形代数は代数学、微積は解析学に入りますが、例えばフーリエ解析や複素解析はどこに入るのでしょうか?解析ってついてるくらいだから解析学ですかね? 位相やヒルベルト空間論や離散数学はどこに入りますか? また、幾何学や集合論にはどういうのが含まれるのでしょうか?特に学部レベルだと何をやるんでしょうか? 色々質問しましたが、答えたいものだけ答えていただくのでも構いませんのでよろしくお願いします。 長くてすみません。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

数学科の学生に聞くのが、一番早いでしょう。 図書館で、岩波講座「現代数学への入門」全10巻20分冊を読んでみてください。 「現代数学の流れ 1」という分冊の43ページに、20冊のつながりが図解してあります。 「現代数学への入門」は、高校から、大学1,2年の教養課程の数学だと思ってください。 岩波講座「現代数学の基礎」全17巻34分冊、これは、数学科の学部生の必修科目と 選択科目くらいだと思います。 岩波講座「現代数学の展開」全12巻24分冊、数学科の3,4年生、大学院生以上、 と書いてあります。 数学セミナー編集部編「数学完全ガイダンス」これ1冊で、数学の情報満載です。 持っておくと役に立つ本、岩波書店「解析概論」改訂第3版、ハードカバー箱入り。 岩波書店「自然科学者のための数学概論」寺沢寛一著、増訂版、応用編、 微分方程式のハンドブックみたいです。 朝倉書店の数学30講シリーズ10冊。志賀浩二著。「固有値問題30講」に ヒルベルト空間がでてきます。 「物理数学」「基礎解析学」「応用数学の基礎」「応用解析学」など、いろんな タイトルの本がでていますが、内容は、ほとんど、微分方程式、ベクトル解析、 複素関数論、フーリエ級数、ラプラス変換など、偏微分方程式まで、理系の 学部で履修する解析の内容です。 集合と位相は、数学のどの分野にすすんでも、共通のことばのようなものです。 岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著を読んでみてください。 現代数学社「ε-δに泣く」「∀と∃に泣く」「MAXとMINに泣く」「DIMとRANKに泣く」石谷茂さんの 数学盲点シリーズも読んでみてください。 「数学セミナー」「理系への数学」月刊誌も読んでみてください。 講談社「そのまま使える答えの書き方」シリーズ、記号だらけですが、慣れるまで、ながめてください。 一番早いのは、岩波講座「現代数学への入門」全10巻20分冊の、まえがき、学習の手引き、 あとがきのかわりの「現代数学への展望」と参考書を全部読んでみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

詳しい解答ありがとうございます。 とりあえずあげていただいた本全部を図書館で見てみます。 数学30講シリーズは先輩からも薦められたので、 この辺から勉強してみようかと思います。 ありがとうございました。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

どこの大学の数学科、数理科学科、教育学部数学科でも、内容は同じだと思います。 岩波講座「現代数学への入門」全10巻20分冊のうち、微分と積分1,2、行列と行列式1,2が教養部の 微分積分(解析学)と線型代数に相当するでしょう。教養部で統計学も履修できました。 学部に入る前に、集合と位相の講義と演習があると思います。 学部の必修科目は、実解析1,2、複素解析1,2、代数1,2、幾何1,2、微分幾何1,2、確率統計1,2 情報数学1,2、位相数学1,2、あとは忘れました。内容は、講義を担当する教授が、決めるので、よくわかりませんが、 岩波講座「現代数学の基礎」全17巻34分冊の内容と、ほぼ同じでしょう。昔のことなので、計算機数学では、 フォートランのプログラムを書いて、パンチカードに穴をあけた記憶があります。パソコンも、ワープロもなかった。 2,3日前、ヤフーのオークションに、「現代数学の展開」11巻が出品されていました。今朝みたら、もう 落札されていました。 http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Lounge/1030/math/gendai.html 岩波 数学入門辞典:http://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0802090/index.html 読んでわかる数学の本に出会ったら、その著者の本を、さがして読んでください。 吉田武さんの「虚数の情緒」、「オイラーからの贈り物」、どちらも、オイラーの公式を導く本ですが、 興味深く読めるでしょう。関数論、複素関数、複素解析の入門によいでしょう。 位相数学、位相空間で困ったら、「位相への30講」志賀浩二著、「はじめよう 位相空間」大田春外著、 石谷茂著「初めて学ぶトポロジー」現代数学社、などが、役に立つでしょう。 ギリシャ文字アルファー、ベータ、ガンマなどは、ご存知でしょう。位相数学では、ドイツ語の飾り文字 を使ったりします。飾り文字の大文字、小文字を持っておくと便利です。 「フラクトゥール」で検索するか、「ドイツ文字」で、でてきます。 岩波書店「集合・位相入門」松坂和夫著を使うときは、ドイツ文字のアルファベット表を扉に貼っておくと 役に立ちます。 大いにお励みください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。 あれからHANANOKEIJさんのご回答中にある様々なキーワードをネットで検索したりして、 色々見ていましたらなんとなくイメージがつかめてきた気がします。 道はずいぶんと険しそうですが頑張ってみます。 大変ありがとうございました。

  • 回答No.3

岩波書店「理工系の数学入門シリーズ」こちらの本は、物理学者、工学者が書いた数学の本です。 たとえば、「ベクトル解析」という、タイトルの本を読み比べてみてください。 代数といえば、群論を学習すると思います。ガロアの名前もご存知でしょう。 ブルーバックス「ガロアの群論」、技術評論社「天才ガロアの発想力」を読んでいます。 集合と位相の教科書を1冊えらんで、じっくり読んでください。数学科では、2年の前期と後期で 集合と位相の入門、3年前期で、標準的な教科書1冊分の内容をやります。 幾何といえば、「多様体入門」をやるか、曲面の幾何、微分幾何をやると思います。 「ベクトル解析」は、物理学だと思っていました。 ちくま学芸文庫「トポロジー 基礎と方法」野口廣著、日本のトポロジーの第一人者です。 ちくま学芸文庫「現代の古典解析」森毅著、京都大学教養部の微分積分(解析学)の講義風景です。 ベレ出版「数学が解き明かした物理の法則」大上雅史、和田純夫共著、おすすめです。 和田純夫さんの本をさがして、読んでみてください。 江沢洋さんの「力学」日本評論社、物理学の本ですが、微分積分(解析)の本でもあります。 日本実業出版社「道具としての微分方程式」野崎亮太著、解析とは、微分方程式を解くこと、 だれが言ったのか知りませんが、昔聞いた名言です。わかりやすい、物理数学の入門書です。 数式がでてこない統計学の本、「統計学という名の魔法の杖」現代白鳳選書、本田克也、浅野昌充、神庭純子共著。 数学の本は、抽象的で、投げ出したくなるときがあります。そんなときは、わかりやすい本を読んで、 気分転換してください。ずっとあとで、読んでみると、その意味がすっとわかるときがきます。それまで、 考え続けてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >数学科では、2年の前期と後期で集合と位相の入門、3年前期で、標準的な教科書1冊分の内容をやります。 1年時に微積分や線形代数をやり、2,3年から抽象的なことに入っていくということですね。 >ずっとあとで、読んでみると、その意味がすっとわかるときがきます。 力強いお言葉ありがとうございます。がんばります。

  • 回答No.1

>数学科の人たちはどの ような科目をどのような順番で学んでいるので しょうか? 興味の向くまま、好き勝手な順番で学習しました。 >分かれると思うのですが、大体合ってます か? だいたいそうだけど、分類に大した意味はありません。 必要になった時点で、必要な知識を身に付ければよろしい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

早いありがとうございます。 >興味の向くまま、好き勝手な順番で学習しました。 まあ、それが理想なんでしょうね。 ただ、学問は積み重ねですし、ある程度は順序というものがあるわけですよね。 たとえば物理の場合ですと、力学を学ばずに量子力学を学ぶ人はいませんし、 統計力学の前にはふつう熱力学を学んでおくものです。 大学生なら必修科目がありますので、ある程度それに従って勉強しますよね。 数学科の必修の大まかなカリキュラムをおしえていただけると嬉しいです。

関連するQ&A

  • 大学での数学は役に立ってるの??

    大学の数学の分野で、解析学、カオス理論、群論、グラフ理論、代数幾何学、最適化、抽象代数学、フーリエ解析、線形代数学、組み合わせ論など種類豊富にあるというのは分かったのですが、一体、それらがどのように、実生活で応用されているのか、とても興味があります。実際に、どのように利用されているのでしょうか??例を交えて説明していただければ、幸いです。

  • 数学を独学で学ぶにあたって

    最近、数学(大学以上の内容)を独学で勉強しようと思いました。 そこで、自分なりに調べて見たものとして  基礎論?(論理学、集合論、自然数論)  代数学(線形代数、抽象代数、ブール代数、整数論、群論)  解析学(微分方程式、位相解析、測度論、複素関数論、変分)  幾何学(ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何、解析幾何、射影幾何、微分幾何)  トポロジー(位相空間、多様体、グラフ理論) のようなものがありました。 分類すること自体にあまり意味はないのかもしれませんが、 すでにここに挙げたものについて言葉がおかしいものや まだ名前の挙がっていないものでこういった学問がある などアドバイスしてください。 また、先にこれは学んでいたほうがよいというような ものがあれば教えていただけると嬉しいです。 私は物理学を修了しているので多少数学はやっていましたが、 数学屋さんから見ると穴だらけの数学のような気もするので、 大学初年度の線形代数くらいから もう一度きっちり抑えていくくらいの気持ちではいます。

  • 数学の問題が物理用語を用いて解かれるものはありますか?

    物理の問題が数学用語を用いて解かれることは多々あります。 それは物理数学と呼ばれる分野で、wikipediaによると、 ベクトル解析、テンソル解析、微分方程式、常微分方程式、偏微分方程式、フーリエ級数、フーリエ変換、ラプラス変換、微分幾何学、群論、特殊関数、複素解析、複素関数 などがあります。 では、数学の問題が物理用語を用いて解かれるものはあるのでしょうか? 物理用語とは、力、質量、運動量、運動エネルギー、電流、電圧、磁荷などです。 ペレルマンによるポアンカレ予想の証明には、熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する、と聞いたことがありますが、それ以外のわかりやすい具体的な例を教えていただければありがたいです。

  • 相対性理論を正しく理解するために必要な数学と勉強法

    物理学科の学部2年生です。理論物理学に興味があります。 1. 大学の講義では特殊相対性理論までしか開講されていないのですが、卒業までに一般相対性理論ぐらいまでは自力で理解できるようになりたいと思っています。その為にはどのような数学を学べばいいでしょうか。 1年次では学校で、 ○多変数関数の微積分 ○(基本的な)微分方程式 ○ベクトル解析 ○線形代数(理論よりも計算重視) などを学びました。春休みには、 ○複素関数論の初歩 ○数学の基礎理論(集合など) ○フーリエ変換 ○ラプラス変換 を浅く広く学習しました。特に 位相空間・位相幾何・ルベーク積分論・関数解析・多様体・代数学・結び目などに関する幾何学 などはしっかりと学習した方が良いのか、それともあまり物理学には役に立たないのか知りたいです。 2. 勉強の仕方に関する質問です。 専門分野の話しかできない人になりたくなかったので、見聞を広めようと思い、1年次では主に人文系の学問に励み、数学や物理学をおざなりにしていたので、「どこまで深くやればいいのか」ということがよく分からず困っています。 例えば、数学の微積分などにおいてはδε論法などを使って厳密に定義を積み重ねていく数学科的な勉強のスタイルをとるべきなのか、細かいことは無視して、「物理に運用できる数学」というのを意識して勉強すればいいのか教えて下さい。前者は時間がかかりますが、後者では途中で壁にぶつかってしまうでしょうか。 また、偏微分や多重積分、べき級数展開などの意味をよく考えはするものの、行列の固有値や固有ベクトル、行列式などを求めることができても、その意味などはよく考えません。これも物理を学ぶ上で今後、障壁となるでしょうか。それとも小さいことを気にせず教科書を読み進めた方がよいでしょうか。 物理学の勉強においても、例えば、解析力学を学ぶとき、ニュートンの運動方程式から運動エネルギーに注目してラグランジュの運動方程式を導くところまでは丁寧にやりますが、それの運用(具体的な現象でラグランジュの方程式を立てて解を求めてみる)ことになると途端に興味が失せて教科書のページを飛ばしがちになってしまいます。 基礎理論や方程式を知っているだけではなく、それを現実の現象で使いこなせるようにならないとダメでしょうか。 はじめに学ぶときに使うべき図書についても質問があります。いきなり高度で厳密なものに手をだすべきでしょうか。学校のシラバスではランダウの本などが推薦されていて、初学者にはちょっと厳しいかなと思うので「物理入門コース」や比較的のみこみやすそうな参考書を使って勉強しています。学部4年までで一般相対性理論まで到達するには、いきなり難易度の高い専門書に取り組む根性と熱意が必要ですか。むやにみやっても理解できなさそうで心配です。 ----------------- ちなみに、今は解析力学を浅く終えた(ラグランジュから最小作用の原理、ハミルトン-ヤコビ方程式まで)ので、量子力学に本腰を入れようかと思っている段階です。 2年次になってからこんなことを質問するなんて、恥ずかしいあまりですが、よろしくお願いします。

  • 数学の体系

    数学の体系を次のように考えていますが、 どのような体系がいいですか できるだけ整理したいのですが よろしくお願いします mm(__)mm ______________ 数学より基礎部分  哲学  超数学 etc ______________ 数学の部分  論理学  集合論  位相空間論  代数学(群・・加群、体)   加群→線型代数  実数論   連続の公理・定理の関係   数ベクトル(ex 複素数、四元数)   行列としての数ベクトル  実数列・級数の理論  実関数の理論  位相幾何学  微分・積分  微分幾何学  確率論   確率分布   確率過程  関数解析   バナハ・ヒルベルト空間→関数空間  関数方程式・微分方程式 こうやってみると、数学の体系もまだまだ整理する余地があると思います

  • 高校数学の内容

    どんな内容を盛り込みたいですか。科目は次の6科目とします。 数学I(1年,必修),数学II(2~3年,解析I,代数・幾何,統計の寄せ集め的科目) 解析I(2年),解析II(3年),代数・幾何(2年),統計(3年)

  • 大学数学における計算力をつける方法

    大学数学の基礎的計算力がつけたいです。 ・線形代数、微分積分 ・ベクトル解析 ・複素系いろいろ ・フーリエ解析 などなど。どのような手順・方法で身に付けるのが効率いいと思いますか? 体系的に学びやすい順序とかはありますか? それとも、かたっぱしからやるしかないのでしょうか?

  • 大学の数学の勉強法

    院試に向けて、独学で大学の数学を学びたいんですけど、どの分野から勉強したらいいですか??あと選択しやすい分野があったら教えてください。代数・幾何・解析・集合論・線形代数・微積分の中でお願いします。

  • 難しい数学への挑戦へ向けて

    数学が大好きですが実力が伴わないアマチュア数学者です。将来は数論幾何学や代数幾何学などを理解したいと熱望して、コツコツ勉強しています。 今は本格的に数学をやっている方ならご存知の本、解析概論や初等整数論や、線型代数、群論初歩などを分からないなりにやっています。 しかし例えば、先日学士院賞・恩賜賞を受賞された日本(世界?)数論のトップランナーK先生レベルには一生かかっても到達出来ないなと思います。 (もちろんプロとアマの違いは考慮した上ですが・・) ゼータや共形場理論、弦理論や非可換代数幾何学、リーマン予想やホッジ予想など、ずーっと憧れているのですが、全然そのレベルに近ずきません。 この辺りを理解されている方は、例えばK3局面や量子空間、ハッセゼータをどのようにイメージされていますか? また(非常に甘えた質問かもしれませんがアマチュアという事で許して下さい)、このレベルに到達するにはとてつもなく勉強するのはもちろんですが、何か工夫する方法などありますか?

  • 量子力学を学ぶのに確率論は必要でしょうか

    男子大学2年生。 工学部ですが量子力学を独学したいと考えています。 解析力学を勉強しているのですが、数学の理解不足かなかなか前に進みません。 微積分と線形代数、複素解析は必要だと分かるのですが、他に常微分方程式や偏微分方程式の知識や群論の知識も必要とか。 確率解釈も興味があるのですが、確率論も必要なんでしょうか? 勿論知っているに越したことは無いと思うのですが・・・・。 アドバイスください。