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数学を独学で学ぶにあたって
最近、数学(大学以上の内容)を独学で勉強しようと思いました。 そこで、自分なりに調べて見たものとして 基礎論？（論理学、集合論、自然数論） 代数学（線形代数、抽象代数、ブール代数、整数論、群論） 解析学（微分方程式、位相解析、測度論、複素関数論、変分） 幾何学（ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何、解析幾何、射影幾何、微分幾何） トポロジー（位相空間、多様体、グラフ理論） のようなものがありました。 分類すること自体にあまり意味はないのかもしれませんが、 すでにここに挙げたものについて言葉がおかしいものや まだ名前の挙がっていないものでこういった学問がある などアドバイスしてください。 また、先にこれは学んでいたほうがよいというような ものがあれば教えていただけると嬉しいです。 私は物理学を修了しているので多少数学はやっていましたが、 数学屋さんから見ると穴だらけの数学のような気もするので、 大学初年度の線形代数くらいから もう一度きっちり抑えていくくらいの気持ちではいます。
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＞ Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. London. A 362, (1978), 425-461. くらいです。 有難うございます。 タイトルとかにツイスターという言葉が出ていると 見つけやすいのですが、実際読んでみないと 分からない、こうゆう情報は助かります。 ＞手に入れてみたいと思います。 （まだ少し早いような気もしますが…） 現代数学はやはり現代幾何学が基本でしょう。 遅かれ早かれモジュライを学ぶこととなる と思います。 位相幾何学の入門の入門的なところから始め、 モジュライまでざっと説明した読み物として 以下の参考URLにある 「不変量とはなにか―現代数学のこころ」 ブルーバックス をお勧めします。 これは高校生向けセミナーをベースに書かれて いるので、読みやすいと思います。 目次を見ると分かるように、 第1章 オイラー数の話 という内容から始まっています。 位相幾何学の発想の原点は、ポアンカレ 以前のオイラーによる、このオイラー数という 考えかたですが、そのあたりの初歩から 丁寧に解説されています。
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- graphaffine
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#3で答えたものです。グラフ理論は通常は組合せ最適化理論あるいは離散数学に分類されます。位相幾何学的グラフ理論と言う分野が有りますがそれはグラフ理論のごく一部であって、通常のグラフ理論は位相幾何学とは関係ありません。 組合せ最適化理論は知名度が低いとは思いますが、やってみるとなかなか面白いですよ。Ｎ－クイーン問題や巡回セールスマン問題などが有名です。（もし御存じなかったら、Ｗｅｂ上で検索してください。いっぱい出てきます） #4：トポロジーとは位相幾何全般を指す場合も有るし、より限定された分野を指すことも有るので、あながち間違いとは決められないでしょうね。
お礼
何度も回答していただきありがとうございます。 > Ｎ－クイーン問題や巡回セールスマン問題などが有名です。 これらの名前は聞いたことがありますが、 組み合わせ最適化理論というのは知りませんでした。 > グラフ理論は通常は組合せ最適化理論あるいは離散数学に分類されます。 このような感じの分類になるのですか。 これは面白そうですね。
- apple-man
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＞> モジュライ このあたりは言葉すら知りませんでした。 「モジュライのたのしみ」（参考URL） がとりあえずお勧めです。 ＞ツイスター理論は少しだけかじった事がありますが、 それは興味深いです。 もしご記憶にありましたら、使われた 参考書などお教え下さい。 ツイスターはあちらこちらにちょこちょこ 顔を出すのですが、まとまった情報に 欠けているんです。 ロジャーペンローズの本とAn Introduction to Twistor Theory、ペンローズのねじれた四次元―時空をつくるツイスターの不思議 、結び目の数学と物理 数学の最先端 21世紀への挑戦〈volume2〉 このあたりは読んだのですが・・・（すいません、 回答欄で質問しちゃダメかな・・・）
お礼
>「モジュライのたのしみ」（参考URL） > がとりあえずお勧めです。 参考図書の紹介ありがとうございます。 手に入れてみたいと思います。 （まだ少し早いような気もしますが…） > もしご記憶にありましたら、使われた > 参考書などお教え下さい。 数学についてこのような質問をしてるくらいなので大変恥ずかしいのですが、 apple-man さんが書かれているもの以外なら 適当な数学書で用語をつまみ食いしながら読んだ M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, and I. M. Singer, Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. London. A 362, (1978), 425-461. くらいです。
- apple-man
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複素空間の例として・・・ タイヒミュラー空間論は抑えておいた ほうがいいでしょう。 タイヒミュラーのパラメータを変化させ ていって重ねた状態として考えられる モジュライというのも重要ですね。 あと多様体もいろいろありますが、 最近ではカラビ・ヤウ多様体が 少し注目のようです。
お礼
何度も回答していただきありがとうございます。 > ＞ 幾何学 > ここに複素空間論が入りますかねー > > あと複素空間としてツイスター理論 > ツイスター理論の基礎はスピンネットワーク > 理論という物理の理論ですが・・・ ツイスター理論は少しだけかじった事がありますが、 やはり数学としてどういう位置にあるのか わかっていないことを痛感しました。 > 代数、トポロジーにまたがる分野として、 > ホモトピー、ホモロジー、コホモロジー > なんかですかねー このあたりはいろんな分野を学んでから 勉強することになりそうですね。 > 相対性理論の等価原理は局所的にしか成立しないことはご存知ですね。 > その局所的にしか成り立たない空間理論が他にもあって > それらの総称は多様体です。 一般相対論をやっているときに使っている数学は リーマン幾何であることは知っていましたが、 やはり道具として使っていただけに、 数学という立場から見ると、 かなりつまみ食いをしているようですね。 > モジュライ このあたりは言葉すら知りませんでした。
- apple-man
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＞代数幾何ですか。 これは多様体と同じことなんですか？ 違います。 代数幾何は、まー高校の延長としまして・・・ 多様体の１例は、相対性理論で有名な リーマン幾何学です。 数学的表現をすると、 多様体とは、局所的、かつ、いたるところで デカルト座標が成り立つ空間のことです。 ＞しいて言えば、私の専門は素粒子物理学で 相対性理論の等価原理は局所的にしか成立しないことは ご存知ですね。その局所的にしか成り立たない空間 理論が他にもあって、それらの総称は多様体です。
- apple-man
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代数、トポロジーにまたがる分野として、 ホモトピー、ホモロジー、コホモロジー なんかですかねー
- apple-man
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＞ 幾何学（ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何、解析幾何、射影幾何、微分幾何） ここに複素空間論が入りますかねー あと複素空間としてツイスター理論 ツイスター理論の基礎はスピンネットワーク 理論という物理の理論ですが・・・ あと非ユークリッド幾何の中にフラクタル幾何学が 入るかと思います。 この辺は相互の関係もあるんで、分類は もう少し複雑になりますかねー・・・
- apple-man
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＞トポロジー（位相空間、多様体、グラフ理論） この流れで行くと、組ひもの理論（Nod Theory) なんかも
- apple-man
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とりあえず、つれづれなるままに・・・ ＞ トポロジー（位相空間、 トポロジーは位相幾何学ですから、 この分け方はダブってるような・・・ 例えて言うと ユークリッド幾何学（ユークリッド空間
お礼
回答ありがとうございます。 > トポロジーは位相幾何学ですから、 > この分け方はダブってるような・・・ そうでしたか。 例を挙げていただいたのでよくわかりました。
- graphaffine
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rynさん、今晩は。IDから分かるかもしれませんが、 私は趣味でグラフ理論を勉強しております。勿論、 独学です。貴兄が独学しようと思った動機、それから何故数学なのか興味があります。 で、グラフ理論の話に戻りますが、何故トポロジーに分類されているのでしょう。以前にもここで同じ事を言っている人がいたのでこの迷信を信じている人は結構いるのでしょうか。この分類の根拠を教えてもらえますか。 ついでですが、＃２について 代数幾何学は代数多様体を研究する分野だとは存じておりますが、抽象代数幾何学は寡聞にして知りません。どのようなものなのでしょうか。 多様体と言ってもいろいろありますよね。
お礼
回答ありがとうございます。 > 貴兄が独学しようと思った動機、 > それから何故数学なのか興味があります。 これは少し難しい質問ですね。 なぜこういうタイプの人を好きになるのかと いうような感じなので…。 しいて言えば、私の専門は素粒子物理学で 今まで数学は量子力学や場の理論などを 扱う道具として使ってきました。 ふと、その数学自体の美しさに 興味を引かれたというところでしょうか。 > 何故トポロジーに分類されているのでしょう。 私自身まだ知識がありませんので、 質問文に挙げた分類はウェブページまたは 書籍を参考にしております。 迷信ということはかなり違うということなんでしょうか？ トポロジーとグラフ理論がどういった学問で なぜ分類されないのか教えてください。
- Mell-Lily
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多様体と同じことですが、代数幾何学、抽象代数幾何学というものもありますね。
お礼
回答ありがとうございます。 代数幾何ですか。 これは多様体と同じことなんですか？ いまいち言葉と内容がつながっていないです。 出来れば簡単に説明していただけませんか？ お礼でなく補足になっちゃいました。
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お礼
またまた回答していただきありがとうございます。 > 「不変量とはなにか―現代数学のこころ」 > ブルーバックス > をお勧めします。 確かにざっと概要を知るにはよさそうですね。 本屋で探してみます。 回答してくれたみなさんのおかげでなんとなく道が見えたような気がします。 あとは自分で時間をかけて努力するのみですね。 この場をお借りしてみなさんにお礼を申し上げます。 本当にありがとうございました。