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漸化式の問題がわかりません
Sn=2An-nであるとき、{An}の一般項を求めよ という問題と、{An}の一般項をBnで置き換えて求める問題がわかりません。 解き方を教えて下さい。 よろしくお願いします。 問題の画像:http://i.imgur.com/KeNUP5r.jpg
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与えられた漸化式にn=1を代入して S(1)=2a(1) - 1 S(1)=a(1) より a(1)=1 とわかる ここで、与えられた漸化式でnの代わりにn+1を代入して S(n+1) = 2a(n+1) - (n+1) これと、もとの漸化式 S(n) = 2a(n) - n の差をとって S(n+1) - S(n) = 2a(n+1) - 2a(n) - 1 ここで S(n+1) - S(n) = a(n+1) より a(n+1) = 2a(n+1) - 2a(n) - 1 よって a(n+1) = 2a(n) + 1 変形して a(n+1) +1 = 2( a(n) +1 ) よって { a(n)+1 } は公比2の等比数列 その初項は a(1)+1 = 2 なので a(n) + 1 = 2^n よって a(n) = 2^n - 1 …（答）
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- asuncion
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Sn = 2An - n S1 = A1 = 2A1 - 1, A1 =1 S2 = A1 + A2 = 1 + A2 = 2A2 - 2, A2 = 3 S3 = A1 + A2 + A3 = 4 + A3 = 2A3 - 3, A3 = 7 S4 = A1 + A2 + A3 + A4 = 11 + A4 = 2A4 - 4, A4 = 15 このあたりまででAn = 2^n - 1ではないか、というあたりがつきます。 あとは数学的帰納法か何かで証明できるのではないでしょうか。
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回答ありがとうございます。
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回答ありがとうございます。 わかりやすい解説、ありがとうございました！