倍数に関する証明問題

質問

この証明の仕方が分かりません。どなたか教えてください。お願いします。
問題は写真にあります。

回答No.3

f272

整数を3で割った余りは0，1，2のどれかです。
整数の2乗を3で割った余りは(それぞれに対応して)0，1，1のどれかです。
a，bがどちらも3の倍数ではないとするとa^2+b^2を3で割った余りは1+1=2にしかなりませんが，上で述べたようにc^2を3で割った余りは0または1なので，矛盾しています。
つまりa，bの少なくとも1つは3の倍数です。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

jcpmutura

a,b,cは整数とし,
a^2+b^2=c^2
とする
a,bがともに3の倍数でないと仮定する
a=3m+1,又は,3m+2
b=3n+1,又は,3n+2
c=3k,又は,3k+1,又は,3k+2
(m,n,kは整数)と表される

a=3m+1の時
M=3m^2+2mとするとMは整数で
a^2
=(3m+1)^2
=9m^2+6m+1
=3(3m^2+2m)+1
=3M+1

a=3m+2の時
M=3m^2+4m+1とするとMは整数で
a^2
=(3m+2)^2
=9m^2+12m+4
=3(3m^2+4m+1)+1
=3M+1

a=3m+1,又は,a=3m+2,でいずれも
a^2=3M+1
となる整数Mがあるから

同様に
b=3n+1,又は,b=3n+2,でいずれも
b^2=3L+1
となる整数Lがある

J=M+LとするとJは整数で

a^2+b^2
=3M+1+3L+1
=3(M+L)+2
=3J+2

c=3kを仮定する
K=3k^2とするとKは整数で
c^2=9k^2
=
3K=3J+2
両辺から3Jを引くと
3K-3J=2
両辺を3で割ると
K-J=2/3
左辺は整数で右辺は整数でないから矛盾するからc≠3k

a,bと同様に
c=3k+1,又は,c=3k+2でいずれも
c^2=3K+1
となる整数Kがあるから

c^2
=
3K+1=3J+2
両辺から3J+1を引くと
3K-3J=1
両辺を3で割ると
K-J=1/3
左辺は整数で右辺は整数でないから矛盾する
∴
a,bのうち,少なくとも1つは3の倍数である

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

kuzuhan

背理法を用いた間接証明法で証明するというヒントがあります。
数学的背理法は「成立しないことを証明する」方法です。

ここではaとbのどちらかが3の倍数かどうかを問うているので、逆に３の倍数ではないときに成立するかどうかを証明させます。
そのため、仮定をaとbが3の倍数以外として、「(a^2) + (b^2) = (c^2)」が成立しないことを証明します。

つまり、証明には4つの「矛盾がある」とする証明を行います。
aとbが3の倍数ではないとき、それぞれ
a = 3m+1 , 3m+2
b = 3n+1 , 3n+2
が与えられます。
ここで、(a^2) + (b^2)へそれぞれ代入を行い、式を計算します。
a = 3m+1のとき、b = 3m+1
a = 3m+1のとき、b = 3n+2
a = 3m+2のとき、b = 3m+1
a = 3m+2のとき、b = 3n+2
これらを計算し、最終的にmとnを用いた二乗の式にまとまるかどうかを計算します。
最後まで計算を行った結果、「= (m+n)^2」の形になれば「成立する」ですし、「= (m+n)^2 + D」のように、二乗となる数以外に定数項や一次項があれば「成立しない」となります。定数があっても「= (3m+2)^2」のように、二次式のみで構成されていれば成立とします。

お礼

ありがとうございます。