問題が解けない

質問

下記の問題の（4）が全然解けなくて、困っています。どなたか詳しい説明お願いします。

回答No.2

noname#227255 · ベストアンサー

参考までに(1)～(3)も解いてみます。

(1)
∠AQDは、直径ADに対する円周角であるから90°
よって、∠AQRも90°
△ABRとAQRはそれぞれ直角三角形になり、AB=AQ（半径）、ARは共通であるから、
三平方の定理によって残り1辺の長さも等しくなり、BR=QR
よって、3辺の長さがそれぞれ等しく、△ABR≡△AQR
(2)
直角三角形AQDにおいて、三平方の定理によって、
DQ^2=AD^2-AQ^2=(2√3)^2-(√6)^2=6→DQ=√6
(3)
BR=QR=xとおくと、直角三角形DCRにおいて、
DR=DQ+QR=√6+x、CR=BC-BR=2√3-xであるから、三平方の定理によって、
(√6+x)^2=(√6)^2+(2√3-x)^2
これから、x=BR=2√3-√6
(4)
直線ABをy=-ABx/BR=-(√6)x/(2√3-√6)=-(1+√2)x－(a)
ADを直径とする円を(x-√3)^2+y^2=(√3)^2－(b)
とおくと、これらの交点のx座標は、式(a)と式(b)から、
(x-√3)^2+{-(1+√2)x}^2=3を満たすので、これを変形して、
x{(4+√2)x-2√3}=0
(4+√2)x-2√3=0から、x=(2√3-√6)/2=BR/2
よって、点Sは線分ARの中点になります。
これから、△AQSの面積は△AQR面積の1/2になるので、△AQSの面積は、
AQ*QR/2/2=√6*(2√3-√6)/4=3(√2-1)/2
四角形ASQDの面積は、△AQSの面積と直角二等辺三角形AQDの面積（AQ*QD/2）の和になるので、
3(√2-1)/2+(√6)*(√6)/2=3(1+√2)/2

お礼

解答ありがとうございました。だいぶ理解できました。

回答No.3

noname#227255

ANo.2の別解です。

(4)について
△AQDはQA=QD=√6の直角二等辺三角形であるから、点Qから辺ADに下した垂線の足は、ADを直径とする円の中心Oに一致し、△AQOはOA=OQ=√3の直角二等辺三角形になります。
∠OAQ=45°であるから、∠BAQ=45°
△ABR≡△AQRであるから、∠QAS=45°/2=22.5°
∠QASは弧QSに対する円周角であるから、弧QSに対する中心角である∠QOS=45°
よって、∠AOS=45°
線分AQと線分OSの交点をTとします。
△ATOと△QTOにおいて、OA=OQ=√3、∠AOT=∠QOS=45°、OTは共通であるから、
2辺とその間の角がそれぞれ等しく、△ATO≡△QTO
よって、∠ATO=∠QTO=180°/2=90°
∠ATO=90°であるから、∠ATS=90°
△ATSと△AQRにおいて、直角は共通、∠TASと∠QASも共通であるから、
2角がそれぞれ等しく、△ATS∽△AQR
△ATO≡△QTOであるから、AT=QTであり、AS=RS
よって、点Sは線分ARの中点になります。
以下、四角形ASQDの面積の求め方は、ANo.2と同様です。

また、△ASOと△QSOにおいて、OA=OQ=OS=√3（半径）、∠AOS=∠QOS=45°であるから、
2辺とその間の角がそれぞれ等しく、△ASO≡△QSO
∠ATO=90°であるから、△ASOの面積は、
OS*AT/2=(√3)*(√6)/2/2=3√2/4
これを、
AO*AB/2/2=(√3)*(√6)/2/2=3√2/4
と考えることもできます。
四角形ASQDの面積は、△ASOの面積の2倍（△ASOの面積と△QSOの面積の和）と直角三角形QODの面積（OQ*OD/2）の和になるので、
3√2/4*2+(√3)*(√3)/2=3(1+√2)/2

なお、ANo.2では言うまでもなく、長方形ABCDの頂点Aを原点Oに、直線ADをx軸に、直線ABをy軸に見立てています。

お礼

解答ありがとうございました。

回答No.1

noname#232123

AD=√2*AP ですから、直線DQは小さいほうの円周上の点Ｑにおける接線です。
また、円外の１点からひいた２本の接線の長さは等しいから(1)が成り立ちます。
2) DQ=√6.
3) BR=√6*tan∠RAB=2√3 - √6.
4) ADの中点(大きな円の中心)をＯとする。
Sは弧AQの中点となるから、
四角形ASQD=三角形OAS+三角形OQS+三角形ODQ
=(3/2)(1+√2).
となります。

お礼

解答ありがとうございました。