中3 空間図形

質問

この問題の2番がわかりません。どなたか教えてください。
問題は写真にあります。

回答No.4

staratras

立方体を斜めの正面から(底面の対角線HFあるいは上面の対角線DBの延長方向）から見た接点を通る断面図（平面AEGC）で考えます。ただし下の図で、A,E,O（球の中心）,C,G,I（球と題意を満たす平面PGQの接点）は断面の平面上の点ですが、B,D,F,H,P,Qはそうではありません。（見かけ上同じ方向に見えているだけです）

立方体を対角線方向（真正面から45度）で見ることになりますので、断面はたて4、横4√2の長方形です。球はその中心Ｏを通るどんな平面で切っても断面は球の半径と同じ半径2の円です。

ここでポイントは円外のある点から一つの円に2本の接線を引くとき、ある点からそれぞれの接点までの長さは等しいということです。これはある点と円の中心を結んで2つの直角三角形を作れば、斜辺は共通でもう1辺は円の半径で同じになることから、三平方の定理から残りの1辺の長さもそれぞれ等しくなり合同となり明らかです。このため同じ記号（■と▲）を付けた線分の長さは等しくなります。

▲をｘと置くと、三平方の定理から4^2+(2√2-x)^2=(2√2+x)^2 が成り立ちます。
これを展開して整理すると、8√2x=16 よりx=√2　
CP、CQと平面AEGCのなす角は45度だから、CP=CQ=√2・√2=2
求める三角錐の体積は　（1/2）CP・CQ・CG/3=(1/2)・2・2・4/3=8/3　（立方センチメートル）です。

回答No.3

noname#227255

ANo.2を補足しましたので、こちらを回答にしてください。

この状態の断面である長方形AEGCを考えると、球Oは円になって、この中心Oは長方形AEGCの対角線AGと対角線ECの交点に一致し、この円は、長方形AEGCの辺ACと辺EGに接します。
頂点Gからこの円に接線を引き、この円との接点をI、辺ACとの交点をJとします。
なお、辺EGも、頂点Gからこの円に引いた接線になりますが、ここでの接線とは、言うまでもなくもう１本の方です。
また、この接線は、元の立体に戻って考えたときの、球Oに接する平面PGQに対応します。
このように、立体で考えても分かり難い場合には、断面で考えるといいと思います。

OA=OG(Oは対角線AGの中点)であり、辺ACもこの円の接線であるので、対称性からAJ=GJになることは明らかですが、これをさらに次のように考察します。
辺ACとこの円の接点をKとすると、直角三角形OKAと直角三角形OIGにおいて、OK=OI(半径)、OA=OGであるから、三平方の定理から残りの1辺の長さも等しくなり、AK=GI
また、直角三角形OKJと直角三角形OIJにおいて、OK=OI、OJは共通であるから、三平方の定理から同様に残りの1辺の長さも等しくなり、KJ=IJ
よって、AK+KJ=GI+IJであるから、AJ=GJ

三角形JOAと三角形JOGにおいて、JOは共通、OA=OG、AJ=GJ(上での考察)であるから、3辺の長さがそれぞれ等しく、三角形JOAと三角形JOGは合同であり、
∠JOA=∠JOG=180°/2=90°
よって、三角形JOGは直角三角形

三平方の定理からAG^2=4^2*3→AG=4√3→OG=2√3、OI=2(半径)
直角三角形OIGにおいて三平方の定理から、
IG^2=OG^2-OI^2=(2√3)^2-2^2=8→IG=2√2
直角三角形OIGと直角三角形JOGにおいて、直角は共通、∠Gも共通であるから、2角がそれぞれ等しく、直角三角形OIGと直角三角形JOGは相似であり、
GJ=OG*OG/IG=(2√3)^2/2√2=3√2

直角三角形JCGにおいて三平方の定理から、
JC^2=GJ^2-CG^2=(3√2)^2-4^2=2→JC=√2
三角形CPQはCP=CQの直角二等辺三角形であるから、
CP=CQ=JC*√2=√2*√2=2
これから、求める体積は、
CP*CQ/2*CG/3=2^2/2*4/3=8/3(cm^3)

回答No.2

noname#227255

この状態の断面である長方形AEGCを考えると、球Oは円になって、この中心Oは長方形AEGCの対角線AGと対角線ECの交点に一致し、この円は、長方形AEGCの辺ACと辺EGに接します。
頂点Gからこの円に接線を引き、この円との接点をI、長方形AEGCの辺ACとの交点をJとします。
三平方の定理からAG^2=4^2*3→AG=4√3→OG=2√3、OI=2(半径)
直角三角形OIGにおいて三平方の定理から、
IG^2=OG^2-OI^2=(2√3)^2-2^2=8→IG=2√2
直角三角形OIGと直角三角形JIOは、2角がそれぞれ等しく相似であるから、
IJ=OI*OI/IG=2^2/2√2=√2
よって、GJ=IG+IJ=2√2+√2=3√2
また、直角三角形JCGにおいて三平方の定理から、
JC^2=GJ^2-CG^2=(3√2)^2-4^2=2→JC=√2
三角形CPQはCP=CQの直角二等辺三角形であるから、
CP=CQ=JC*√2=√2*√2=2
これから、求める体積は、
CP*CQ/2*CG/3=2^2/2*4/3=8/3(cm^3)

回答No.1

z98jx0

辺のBCに点P
辺のBDに点Q

頂点CからPとQの距離は同じ

つまり任意の大きさの直角二等辺三角形CPQが上の面に出来る

辺PQと下のGにも三角形が出来るが、中の球に接する瞬間の長さがある

それを求めろです

線PQの真ん中からGに直線を引くとその直線が円に接するはず
二等辺三角形を作る事

あとは二等辺三角形の公式をいくつか作ってみて、円の半径と一致したらそれがPQの長さのヒントになる

最初の一問はその問題の解答に使うかな

あとは関数を作ってみて当てはめて行けば出てくる