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大至急!2変数の極値の問題で助けてください!
2変数の極値を求めるとき、 B^2-AC=0のとき判定不能が出た場合 極大値、極小値をもたない事を証明する方法を教えてください! どうなった時が極大値、極小値を持たなくなるのか分かりやすくお願いしますm(_ _)m
- naotake0831
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(x,y)≠(0,0)の時z_x(x,y)≠0又はz_y(x,y)≠0 z(0,0)=0 z_x(0,0)=0 z_y(0,0)=0 A=z_xx(0,0) B=z_xy(0,0) C=z_yy(0,0) B^2=AC の時 任意のε>0に対して 0<x^2+y^2<ε 0<u^2+v^2<ε z(x,y)<0 z(u,v)>0 となるx,y,u,vがあれば z(x,y)は極値を持たない 例) z(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2) の時 z_x =(-2x)(y-2x^2)+(y-x^2)(-4x) =8x^3-6xy =2x(4x^2-3y) z_y =y-2x^2+y-x^2 =2y-3x^2 z_x=z_y=0となるのは(x,y)=(0,0)の時だけだから (x,y)≠(0,0)の時zは極値とならない A=z_xx=24x^2-6y B=z_xy=-6x C=z_yy=2 B^2-AC={36x^2-2(24x^2-6y)}(0,0)=0 任意のε>0に対して x=min(ε,1)/2 y=(3x^2)/2 とすると 0<x≦ε/2 0<x≦1/2<1 0<x^2≦x/2≦ε/4 y^2=9x^4/4≦9x^2/16≦9ε/64 0<x^2+y^2≦25ε/64<ε z(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)=(3x^2/2-x^2)(3x^2/2-2x^2)=(x^2/2)(-x^2/2)=-3x^4/4<0 u=min(ε,1)/2 v=0とすると 0<u^2≦u/2≦ε/4 0<u^2+v^2≦ε/4<ε z(u,v)=(v-u^2)(v-2u^2)=(-u^2)(-2u^2)=2u^4>0 だから z(0,0)=0は極値とならない z(x,y)は極値を持たない
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