二回しか微分可能でない多変数関数の極値判定について

質問

2変数の場合は、極値判定条件は２回連続微分可能を仮定するだけで証明できます。
ヘッシアンを用いた一般的な場合の証明で、は三回連続微分可能を仮定した証明しか見つからないのですか、原理的には二回連続微分可能の仮定で証明可能なはずなのですか、どこかにそれを記したものはないでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

C^3 を仮定？ ヘッセ行列式を使うとき、変なショートカットを使うのかな？
普通に、C^2 を仮定すれば、二階偏微分が可換で、ヘッセ行列は対称行列になり、
実固有値で対角化可能となる。あとは、固有値の符号を調べるだけ。
特別なことは、何も無い。

お礼

ごめんなさい、普通に出来ました。なんか僕の教科書の書き方が特殊だったみたいですね。

補足

停留点で極小でも極大でもない場合の証明がうまく以下の異のですが。

回答No.2

hugen

二回微分可能なら
f(x,y)-f(a,b)=1/2*(h∂/∂x+k∂/∂y)^2*f(a,b)+o(h^2+k^2)
(h,k)≠(0,0) 　なら　(h∂/∂x+k∂/∂y)^2*f(a,b)>0 と　する。
min[p^2+q^2=1](p∂/∂x+q∂/∂y)^2*f(a,b)=m　と　置くと
(h∂/∂x+k∂/∂y)^2*f(a,b)≧m(h^2+k^2)
よって、
f(x,y)-f(a,b)≧m/2*(h^2+k^2)+o(h^2+k^2)=(m/2+o(1))(h^2+k^2)>0