一点だけで微分可能な関数

質問

ワイエルストラスや高木貞治などによりいたるところ微分不可能な連続関数が構成されています。それではある領域内の一つの点だけで微分可能で、領域内の他の点では微分不可能であるような一変数連続実関数はそんざいするでしょうか。そのような関数の存在または存在しないという証明があったら教えて下さい。

回答No.3

Nandayer · ベストアンサー

意外と簡単なような気がしますが・・・。

　ψ(x) をいたるところ連続でいたるところ微分不可能な関数とします。
　すると、
　　f(x) = xψ(x)
が求める関数になっています。
　h ≠ 0 のとき
　　(f(h) - f(0))/h = ψ(h)
だから f(x) は x = 0 で微分可能。
　一方 f(x) がある a ≠ 0 で微分可能とすると、ψ(x) も a で微分可能となって矛盾します。

　確認お願いします。

お礼

御回答ありがとうございます。いたるところ微分不可能な連続関数の存在を前提にすれば、Nandayerさんの回答が最も明快だと思います。するとある点で微分可能な時、その点のいくらでも近くに正則でない点がある可能性があることになります。これは重要なことではないでしょうか。

回答No.2

keyguy

心配なのでもっと急減しましょう

補足

御回答ありがとうございます。もっと急減しなくても収束すると思います。しかし、[0,1]を２分していく点は可算個しかありません。したがって[0.1]にはm/2^n
の形に表せない数があり、その点上ではf'(x)が存在するように思います。

回答No.1

keyguy

0≦x<1で
f(x)=0(x≦a),f(x)≠h・(x-a)(a≦x)
なる折れ線を
aが2の冪乗分点になるようにhが急速に小さくなるように重ね合わせてf(x)を作る
y=x/(1-x)で正実数の範囲に拡大
奇関数になるように実数の範囲に拡大

x=0で微分0他は微分不可能でしょうね?

先の分点とは
1/2
1/4,3/4
1/8,3/8,5/8,7/8
・・・・・・・・・・・・・・・・
(可附番)

急減とは
1/2,1/4,1/8,1/16,・・・
等
(上の同一行にhとして1つの数を対応付ける)

お礼

御回答ありがとうございます。分点を加えながら足していくのは高木関数と似ていますね。xとして2の分点以外の点をとった時、f(x)の微係数は確定しないでしょうか。