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連続で微分不可能な関数の例
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チョー有名な例ですが, f(x)=x・sin(1/x) [x≠0のとき], また f(x)=0 [x=0のとき] で定義される関数. [x=0の点で連続だが, x=0で微分不可能]
その他の回答 (8)
- 鳴瀬 美幸（@naruse）
- ベストアンサー率43% (13/30)
#7です。＞#8 了解しました。感謝感激です！ （f(x)≧1/nはf(x+h)≧1/nに読み替えました。）
- milkysugar
- ベストアンサー率37% (14/37)
＃6です．＞＃7 (f(x+h)-f(x))/hを考えるわけですが，xが無理数ならf(x)=0です． この時，任意の自然数nに対して，ある整数kが存在して，k/n < x < (k+1)/nとなります． よって h = (k+1)/n - x と置いてやればf(x)≧1/n （等号成立は(k+1)/nが既約分数のとき）， また 0 < h < 1/n だから，(f(x+h)-f(x))/h > 1です． さらに，nをどんどん大きく取ってやればhはどんどん0に近づきます（有理数の稠密性というやつ）． 一方x+hが無理数ならこの値は0ですね．従って極限値は存在しません．
- 鳴瀬 美幸（@naruse）
- ベストアンサー率43% (13/30)
質問者を差し置いて外野が質問してすみません。 milkysugarさんにお尋ねします。 >xが無理数ならそこでは連続ですが微分不可能です． 連続性はよく知られていますので結構なのですが、微分不能性は どのように示すのですか？ ちょっと調べましたが解析はまともに勉強していなかったのでわかりませんでした。 よろしくお願い致します。ｍ(。。)ｍ
- milkysugar
- ベストアンサー率37% (14/37)
かなりビックリな例ですが， f(x) = 0 if x:無理数 = 1/q if x:有理数，既約分数表示の分母がq>0 という関数は，xが有理数ならそこでは不連続，xが無理数ならそこでは連続ですが微分不可能です．
- good777
- ベストアンサー率28% (36/125)
例1 ｙ＝｜sinx｜ 例2 ｙ＝√｜x｜ 例3 ｙ＝ｘ+｜ｘ｜
- ageha18
- ベストアンサー率23% (5/21)
y=|x-1|(x=1),y=2x|x-1|+3(x=1)などなど...。 こんな感じならいっぱいありますよ。 もっと例を書きたかったのですが、２乗の表し方がわからなくて...(^_^;) 参考にしてみて下さい。。。
- terra00
- ベストアンサー率0% (0/3)
セレリエの曲線。
f(x)=√x (x>=0) などはいかがでしょう？ x=0で連続であるが，微分可能ではありません．
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