マクローリン展開を用いてln(1.1)を少数第4位

質問

マクローリン展開の初歩の初歩の問題なのですが
Q.ln(1.1)を少数第４位まで求めよ。

という問いがあったときに
第3項＋R4で答えを導くのか
第4項＋R5で答えを導くのか
どの項まで計算するのかの基準がわかりません。

よろしくおねがいします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(x)=log(1+x)のマクローリン展開は
f(x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-x^6/6+ ...
log(1.1)=f(0.1)=0.1-0.01/2+0.001/3-0.0001/4+0.00001/5-0,000001/6+ ...
=0.1-0.005+0.000333-0.000025+0.000002-0.00000016667syousuu + ....
f(0.1)の2項目までの和=0.095 ← 小数点以下4位は正しくない
f(0.1)の３項目までの和=0.095333 ← 小数点以下4位まで正しい(0.0953)
f(0.1)の4項目までの和=0.0953083 ← 小数点以下4位まで正しいかはここまで計算するとわかる、|4項目|=0.000025<0.00005なので小数点以下4位にまで影響しない。
f(0.1)の5項目までの和=0.0953103
f(0.1)の6項目までの和=0.0953102
と実際に計算してみればわかると思います。
f(0.1)の少数以下４位に影響するのは3項目までです。

「第3項＋R4で答えを導くのか」ここです。
計算は
>どの項まで計算するのかの基準がわかりません。
「第4項まで計算するのが基準」で、|
第4項|が小数点以下4位に影響しないかで確認します。

お礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました