人類の永遠の謎です。ゲーデル命題

質問

人類の永遠の謎です。ゲーデル命題
考え事をしていてとうとう聞いてみたいと思いました。
私は高校生で一応クリスチャンなのですが、大分前にゲーデル命題、不完全性定理というものを目にしました。
概要を掻い摘んで見ていたのですが、ふと疑問に思いました。
例えば、神は自然数論を知っている。
だが、自然数論には矛盾が生じている。
こんなものを作った神は全知全能ではない。
よって、人類が思うような神など存在しないと。
なるほど、と思った反面一つ疑問がでてきました。
そもそも、自然数論は人間が作ったもので、神がこれをご存知でいらしても、これの創造主が神であるとは限らない。
矛盾があるならば、その考えの形態は誤りであり、神の存在ないし不在には一切の関係を示すものではないと。
自然数論に矛盾があるために、これを作ったのが神だと決めつけ、全知全能を覆す。
どうなんでしょうか。。。
そもそも、この不完全性定理はもっと複雑で入り組んでいるのでしょうが。。。
誰か私の考えの反例をください。

回答No.6

kimko379

第３信です。
１．第２信で間違った事を書いてしまいました。Ｗｉｄ　は、「矛盾を含まない」でした。従って、「ゲーデルの証明」結論部分は、
（Ｗｉｄ（Ｓ）→　￢Ｖｌｌｓｔｎｄｇ（Ｓ））
＝　￢（Ｗｉｄ（Ｓ）∧　￢　￢Ｖｌｌｓｔｎｄｇ（Ｓ））
＝　￢（Ｗｉｄ（Ｓ）∧　Ｖｌｌｓｔｎｄｇ（Ｓ））
です。（￢　は否定を表します。）それを否定して、第２信の後半の式になります。
２．高橋昌一郎『理性の限界』２４５ページ以下で、神は人間理性では捉えられないので、「ゲーデルの証明」は神の存在と矛盾しない、などという「神学」が示唆されていますが、ロマ書　１：２０　と矛盾する偽の神学です。

回答No.5

kimko379

第２信です。「ゲーデルの証明」の結論部分は、Ｓ　を　ＰＡ　（ペアノ算術）を含む数学体系として、Wid で「矛盾を含む」を、Vllstndg で「完全である（全真理・全定理を証明できる）」を表すとすると、￢Wid (S) 　→ 　￢Vllstndg (S)　ということになります。それが否定されますから、簡単な命題計算で、Wid (S) ∧ Vllstndg (S) になります。つまり、数学体系は、ＰＡ　に基づくものである限りは、全て無矛盾で完全・完璧なのです。ですから、勿論、神は全知・全能行善（善行だけ全てお出来になる）である、ということになって、キリスト教神学は信頼できる、ということになります。

回答No.4

noname#221368

＞だが、自然数論には矛盾が生じている。

　不完全性定理は、自然数論に矛盾がある事を証明しません。ゲーデルの結論は、自然数論を扱えるような形式体系では、自然数論が無矛盾である事を示す有限手続きの証明は存在しない、です。無矛盾を示せないという事は、矛盾する事も示せないという事です。

　さらに、自然数論の無矛盾／矛盾を示し得る証明は存在しない、とも言っていません。ただ「形式体系に則った有限手続きの証明で、そういうのはない」と言ってるだけです。

　ここで有限手続きとは、有限行数の証明文と考えてもらってOKです。無限行の証明を、人間は書けないし読めないので、ここはかなり強い結果ではあります。しかし「形式体系に則っとらない証明」はあり得ます。

　真偽は原理的にどちらかに決まるはずなのに、形式体系の証明法では真偽を判定できない命題があったとしても、その命題を読んだ瞬間に命題の意味から真偽を判定できる事もあり得える訳です。

　事の起こりは、ヒルベルトが全数学体系の無矛盾性を数学によって証明しようと思ったところから始まります。彼の選んだ手法は、いわばプログラムをチェックするような万能コンパイラーを作る事でした。コンパイラーは（コンピューターは）何も考えませんが、とにかく文法チェックを行って、プログラムが妥当かどうかを機械的に報告してくれます。

　数学の文章だって原理的にはプログラム言語のように、厳密に用語などを定義できるはずだから、究極的には文法チェックのみで証明が正しいかどうかを判定できるだろう、という発想です。これを構文論と言います。全ての言葉の意味は、厳密に文法規則に対応づけられるという立場です。

　もし上記の話を「そんな無茶な！」と思ったなら、その通りでした。ゲーデルはそれが無茶である事を示しました。無限が絡む場合、どこかで言葉の意味を考慮し、意味論に頼らざる得ない事を、ゲーデルは「証明した」訳です。

＞自然数論に矛盾があるために、これを作ったのが神だと決めつけ、全知全能を覆す。

　という訳で、ゲーデル命題は神とは無関係が、現在の普通の立場です。なので「矛盾があるために（それはわからない）これを作ったのが神だと決めつける」人は、ほとんどいません。

　歴史的には、3～4世紀前までは「自然数は神が作り、その他の数は人間が作った」とする立場はありました。しかしそうであるなら「自然数論に矛盾がある」なんて、思いもよらない事です。もし矛盾の証明が出たら、「お前の論理が間違ってるのさ」と言われるのが落ちです。

回答No.3

kimko379

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に於ける、小弟　kimko379 のレビュー（書評）どもを御覧下さい。なお、不完全性定理なる物が正しければ、神は実在しえない、ということの「証明」が、高橋昌一郎『理性の限界』に出ております。

回答No.2

noname#216886

クリスチャンなら解かると思うが　神は人間を「神の子」として創造しました・・

親を超える力を養う為には　親以上の考え方が出来る事が必要です・・

親って子供に追い抜かれる事の方が喜びを感じるのですよ・・

神が完全だからこそ　子供にとって色々な創造性を与える為に　敢えて色々な事をしている・・と　考える事も出来る・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
まっ　神は　自然数論なんて関係無いのかもね・・

人間を創造した動機が　其処では無いのだから・・

回答No.1

Soar Soran（@Heaven0）

矛盾と不完全は全くの別物です。
この宇宙には現実、矛盾する法則が混在しています。
混在した上で 成るように成っています。
それが宇宙の完全性でしょう。
だからこそ自然数論も矛盾を内包せざるを得ないのでしょう。
神が この宇宙の法則そのものであるならば、
神も又 矛盾細胞の集合した完全体と言えるでしょう。