- 締切済み
凸体のミンコフスキー和がいまいち分かりません。
jcpmuturaの回答
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
t=1 青四角形をA と 4つの緑卵形の一つをB との ミンコフスキー和を A+tB とする a0∈Aを1つの頂点とする ae∈Aを頂点を除く境界辺上の点とする b0∈Bを固定点(a0の位置に合わせる点)とする 図の青四角形は(Aそのものではなく) A+{tb0} (Aをtb0だけ平行移動した図形でA+tBの部分集合) を表しています 図の緑卵形の一つは(Bそのものではなく) {a0}+tB (緑卵形の一つtBをa0だけ平行移動した図形でA+tBの部分集合で 青を除いた部分) を表しています 図の灰色部分は {ae}+tB (緑卵形の一つtBをaeだけ平行移動した図形でA+tBの部分集合で 青と緑を除いた部分) を表しています 図は 青四角形の1つの頂点a0と 緑卵形の固定点tb0を 同じ位置a0+tb0へ移動したものです 青緑灰色合わせたものが A+tB を表しています
関連するQ&A
- 1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和
1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和を求めたいのです。 たとえば、1,2,3から2個とったものの積は、 1・2、1・3、2・3 ですが、それらの全部の和は11になります。 1,2,3,…,nから1個とったものの積を考え、それらの全部の和は、 n(n+1)/2 です。 1,2,3,…,nから2個とったものの積を考え、それらの全部の和は、腕力で計算して、 (n-1)n(n+1)(3n+2)/24 となりました。 1,2,3,…,nからn-1個とったものの積を考え、それらの全部の和は、 n!(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) と、階乗数と調和数列の積になることは分かると思います。 1,2,3,…,nからn個とったものの積を考え、それらの全部の和は、 n! です。 一般に、1,2,3,…,nからk個とったものの積を考え、それらの全部の和を求める方法はあるのでしょうか? (1+x)(1+2x)…(1+nx)の展開式におけるx^kの係数を求めると考えてもいいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 凸包と凸錐の命題証明が出来ません
こんにちは。宜しくお願い致します。 次の二つの命題が証明できません。 [定義1]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸集合Cを凸包といい,このCをco(B)と表す。 [定義2]R^nの部分集合Bが次の2条件を満たす時,Bを凸錐という。 (i) x∈B,λ≧0⇒λx∈B (ii) x,y∈B⇒x+y∈B [命題1](R^n⊃)Bを有限集合B={b_1,b_2,…,b_n}とする時,co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1} [証] co(B)=∩[C∈{C;B⊂C,Cは凸集合}]Cであり,これを使って証明するとかとも思いましたが co(B)⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事と co(B)⊃{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事にどうやって持っていけばいいのかわかりません。夫々どのようにして示せるのでしょうか? [命題2]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸錐B~が存在する。 [証] これはどのような集合をB~を採ればいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- σ集合体はボレル集合体の特別な集合体?
ボレル集合体の定義は 「Xを集合とし,B∈2^Xとする。この時Bが (i) B≠φ (ii) A∈B⇒A^c∈B (iii) A_k∈B(k∈N)⇒∪[k∈N]A_k∈B を満たすならばBをX上のボレル集合体という」 σ集合体の定義は 「BがX上のボレル集合体とする。この時Bが (i) X∈B (ii) A∈B⇒A^c∈B (iii) A_k∈B(k∈N)⇒∪[k∈N]A_k∈B を満たすならばBをX上のσ集合体という」 と解釈したのですがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 凸関数について教えてください。
関数 f(x)=Σ(i=1~nまで)x_i*logx_i - Σ(i=1~nまで)x_i*log(Σ(j=1~nまで)x_j) x=(x_1、x_2、…x_n)^T 、 Σ(i=1~nまで)x_i=α 、 x_i>0(i=1,2…,n) 、α>0 です。 これを (1)上に凸であることを示す方法 (2)狭義凸であるかどうかを調べる方法 を教えてください。 式変形で関数が Σ(i=1~nまで)x_i*log(x_i/α) となるところまでは導けました。 ここから微分などをして、ヘッセをを求めて正定値や半正定値を判断していくと思うのですが、やり方がわかりません。 教えてください。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在の証明
[問]Rは実数体で∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在する事を示せ。 [証] Bを含む凸集合の共通部分A:=∩[C∈{C;B⊂C:凸集合}]C を考えたのですが ∀x,y∈A,∃C∈{C;B⊂C:凸集合} such that x,y∈C. 所が∀λ∈[0,1],λx+(1-λ)y∈Cは言えるが λx+(1-λ)y∈Aとは必ずしも言えないと思います。 どうすればλx+(1-λ)y∈Aが言えますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- cone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})がなかなか言えません
[定理]B:={b_1,b_2,…,b_r}⊂R^nとする時, cone(B) (Bの最小の凸錐) co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}) (∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}の凸包) {Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)} の三集合は一致する。 の証明が出来ません。 凸錐の定義は 「X(⊂R^n)が次を満たす時,Xを凸錐という。 (i) x∈X,λ≧0⇒λx∈X (ii) x,y∈X⇒x+y∈X」です。 cone(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸錐です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸錐}]Aがとれると思います。 co(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸集合です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸集合}]Aがとれると思います。 とりあえずcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})を示そうと試みましたがなかなかできません。 ∀x∈cone(B)(∩[A∈D]A (D:={A;{b_1,b_2,…,b_r}⊂A,Aは凸錐}))をとると ∀A∈D,x∈A∧{b_1,b_2,…,b_r}⊂A で∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂Aも言える。 後は,∀C∈{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0},Cは凸集合}:=Eを採るとC∈Dである事(つまりE⊂D)が言えれば x∈co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})でおしまい。 となるのですが ∀x∈C,∀λ≧0に対してλx∈C や ∀x,y∈Cに対してx+y∈C が言えません。 どうすればcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})が言えますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。 ご紹介いただいた図で漸く納得できました。 AとBは離れた場所にあり,左下の五線が交わっている点を原点として見立てれば 灰色の図形はA+Bの事となるのですね。 これなら en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition のミンコフスキー和の説明とも合致しますね。