凸・準凸判定

質問

f(x)=x^3の凸・準凸判定をしたいのですが、任意のa,bに関してa^3-b^3≧(≦)Df(b)(a-b)=3ab^2-3b^3というところまではもっていけるのですが、これの判定のためにはa^3-b^3-3ab^2+3b^3の正負を判断しなくてはなりません。これはどう導けばいいのでしょうか？また、準凸の判定の方法も分かりかねます。アドバイスをお願いします。

回答No.1

kts2371148

私は凸関数と準凸関数の定義を知らなかったので、
http://www.f.waseda.jp/ksuga/2005chap15.pdf
を参考にしました。

式に惑わされて、本質が見えていないような気がします。
とりあえず、凸関数かどうか、凹関数かどうかを判定する方法に限定して説明します。

高校で、f ' ' (a) > 0 ならば y=f(x) は x=a において下に凸、
f ' ' (a) < 0 ならば y=f(x) は x=a において上に凸、
というものを習ったと思います。
それと同じことなのです。
これで図形としてイメージできるでしょうか？

イメージできたら、それほど難しくないはずです。
f(x)=x^3 が凸関数か凹関数かどちらでもないか、判定せよ、
という問題に対する答えは、

全区間を考えると、f(x)=x^3 は凸関数と凹関数のどちらでもない。
しかし、区間○○○において f(x)=x^3 は凸関数であり、
しかし、区間○○○において f(x)=x^3 は凹関数である

となります。○○○の部分は自分で考えてみてください。
その上でわからなければ、コメントして頂ければＯＫです。

お礼

なるほど、R+とR-で凹凸が変わるということですね！ありがとうございました。